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Un peu de vocabulaire


Cassiopée Cunibil

Quand on parle de tangente, il est important d’avoir en tête quelques définitions et propriétés élémentaires, surtout si l’on aborde des constructions un peu élaborées…

Une question d’intersection

La définition la plus simple de la tangence en géométrie se fait à l’aide d’un cercle et d’une droite. Dans le plan euclidien usuel, une droite (D) et un cercle ( ) peuvent avoir deux, un ou aucun point d’intersection. Dans le cas d’un point unique, on dit qu’ils sont tangents. En notant P ce point et O le centre du cercle, la droite (OP) est perpendiculaire à (D).


Deux cercles sont tangents (entre eux) s’ils sont tangents à la même droite (D) au même point. La droite reliant leurs deux centres est perpendiculaire à (D).
 


Considérons deux droites sécantes. Un cercle tangent à ces deux droites aura son centre sur une des bissectrices de ces deux droites et ses deux points de contacts seront à égale distance de l’intersection des deux droites.
 


Les triangles rectangles OPI et OQI ont deux côtés de même longueur. La longueur des troisièmes côtés est donc égale, elle aussi ; on a ainsi IP = IQ. Par suite, les deux triangles étant semblables, les angles  et  sont égaux.

 

Le cercle inscrit, tangent aux trois côtés d’un triangle

Trois droites non concourantes et non parallèles deux à deux forment un triangle. Les trois bissectrices (intérieures) de ce triangle sont concourantes et, d’après ce qui a été dit plus haut, ce point d’intersection est le centre d’un cercle tangent simultanément aux trois côtés du triangle : c’est le cercle inscrit dans ce triangle.


Lorsqu’il est rectangle, une jolie formule relie le rayon du cercle inscrit aux longueurs des côtés du triangle. 

En effet, on a la relation suivante :

c = AR + BR = AQ + BP = (br) + (ar), d’où l’on déduit 2= a + bc (on notera ici a (respectivement b, c) la longueur du côté opposé au sommet A (respectivement B, C)).
 


Dans le cas général, on peut tout de même relier l’aire S du triangle aux longueurs des côtés et du rayon r du cercle inscrit ; on a alors 2S = r (a + b + c).
 


Pour le démontrer, il suffit d’additionner les aires des trois triangles OAB, OAC et OBC.