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Comment étendre la classique fonction exponentielle aux nombres complexes ? Les propriétés usuelles seront-elles conservées ? Si l'exponentielle ainsi étendue s'étudie aisément, la notion de logarithme complexe associée est plus difficile à cerner. Elle fera l'objet de polémiques au XVIIIe siècle.


L’introduction du calcul différentiel par Isaac Newton date de 1666, même si ce n’est que plus tard qu’il publie ses découvertes. Après un demi-siècle, son compatriote Brook Taylor tente d’approximer des fonctions au voisinage de 0 et affirme que, pour x proche de 0, f(x) = f (0) + xf ’(0) + x2f ’’(0) / 2… À l’époque, on ne s’embarrassait pas de préciser que f était plusieurs fois dérivable ou de donner la signification des petits points : cela voulait-il dire qu’ils représentent une quantité négligeable, ou bien que l’on tend vers l’égalité en ajoutant de plus en plus de termes ?

La théorie des séries entières développée par la suite permet de préciser des conditions suffisantes pour obtenir une telle égalité en prolongeant la somme à l’infini (on dit que la série converge).

 

De Taylor à de Moivre

On sait que la fonction exponentielle est sa propre dérivée. On peut donc en déduire qu’elle est indéfiniment dérivable, et que pour tout x sa dérivée nème est f(n)(x) = exp (x). Admettons, et c’est le cas, que Taylor ait raison pour cette fonction particulière. Alors 

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