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Complexes, trigonométrie et analyse

Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans ℂ, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! À telle enseigne que des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent plus s'en passer.
La fonction zêta nous fait maintenant miroiter mille merveilles mathématiques, notamment au sujet des nombres premiers, briques élémentaires de l'arithmétique. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche…

LES ARTICLES

Nombres complexes et trigonométrie

Jean-Pierre Friedelmeyer
Le lien entre l'exponentielle et les fonctions trigonométriques usuelles (les fonctions circulaires) est bien connu de ceux qui ont étudié des mathématiques. Ce qui est moins connu, c'est que cette relation s'étend, pour les besoins du génie électrique, aux fonctions hyperboliques !


L'exponentielle complexe

Bertrand Hauchecorne
Comment étendre la classique fonction exponentielle aux nombres complexes ? Les propriétés usuelles seront-elles conservées ? Si l'exponentielle ainsi étendue s'étudie aisément, la notion de logarithme complexe associée est plus difficile à cerner. Elle fera l'objet de polémiques au XVIIIe siècle.


Le problème le plus important des mathématiques contemporaines peut être formulé de manière tout à fait élémentaire avec seulement quelques rudiments d'analyse complexe. Malgré les efforts titanesques des mathématiciens, l'hypothèse de Riemann résiste et reste hors d'atteinte.