Éblouissants pavages de Penrose


François Lavallou

Sir Roger Penrose est scientifiquement reconnu pour ses travaux remarquables et fondamentaux en géométrie et en cosmologie, et pour leurs applications aux trous noirs. Troublant pourtant qu'il soit publiquement célèbre pour son pavage éponyme, aux nombreuses et remarquables propriétés.

Depuis la plus haute Antiquité, on a cherché à recouvrir de grandes surfaces planes à l’aide de morceaux élémentaires : des pavés pour les routes, des carrelages pour les habitations, des tesselles pour les mosaïques, des motifs pour les textiles, des tuiles pour les toits. Les éléments constitutifs de ces pavages étaient souvent de forme carrée (des carreaux) ou rectangulaire. Leur réalisation en grande quantité était ainsi facilitée et leur juxtaposition régulière, périodique, garantissait un recouvrement plan sans limitation de taille. Une évolution naturelle amena des changements de teintes, de formes et des critères esthétiques pour les motifs reposant sur des notions de symétrie. Les pavages islamiques en sont de magnifiques et nombreux exemples. Heureusement, les mathématiques sont là pour clarifier la situation en classifiant tous les pavages possibles.

 

Différents types de pavages

Il est intuitif de comprendre le pavage du plan comme son recouvrement par des tuiles jointives sans chevauchement. Demandons de plus que les tuiles aient une « taille minimale » (une aire strictement positive), pour éviter un pavage de type fractal (et une aire limite nulle). Le carrelage de notre salle de bains, et même les pavages plus élaborés du génial Escher répondent bien à cette définition.

 


Carrelage ... Lire la suite


références

- Découpages et pavages. Bibliothèque Tangente 64, 2018.
- Penrose tiles to trapdoor ciphers... and the return of Dr. Matrix. Martin Gardner, Mathematical Association of America, 1989.
- Dossier « John Conway ». Tangente 194, 2020.
- Pavages persans : une mise au point. Jean-Marc Castera, Tangente 193, 2020.