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Dites « rouge ! »

Michel Criton




Le paradoxe apparent de ce jeu de cartes a été imaginé par le mathématicien américain Robert Connelly, par ailleurs connu pour sa découverte des polyèdres flexibles.

 

Le joueur joue contre un banquier, qui lui présente quatre cartes dont les faces sont cachées. Le joueur sait que ces cartes comportent deux cartes noires, indiscernables, et deux cartes rouges, elles aussi indiscernables.

 







Le banquier va retourner les cartes une à une. Le joueur doit annoncer « rouge ! » avant que l’on retourne la première carte, ou la deuxième, ou la troisième, ou encore la quatrième. Si la carte retournée juste après son annonce est effectivement rouge, il récupère sa mise initiale doublée par le banquier ; si elle est noire, c’est le banquier qui empoche la mise.
Quelle stratégie adopteriez-vous à ce jeu (votre choix consiste uniquement à décider avant le retournement de quelle carte vous annoncerez « rouge ! ») ?

Si le joueur annonce « rouge ! » avant le retournement de la première carte, il a évidemment 50 % de chances de gagner et 50 % de chances de perdre. Il n’a donc pas spécialement intérêt à faire ce choix.

 

Dites-le avec des cartes…
 


Étudions le cas où le joueur décide d’annoncer « rouge ! » avant le retournement de la deuxième carte.

Si la première carte retournée était noire (trois cas sur six), la probabilité que la deuxième soit rouge est égale à 2 /3 ; si la première carte retournée était rouge, la probabilité d’obtenir une deuxième carte rouge est égale à 1/3.
Globalement, la probabilité de gagner en annonçant « rouge ! » avant le retournement de la deuxième carte est donc égale à (1/2) × (2/3 + 1/3) = 1/2.
Le joueur n’a donc pas intérêt à choisir d’annoncer « rouge ! » avant le retournement de la deuxième carte.
Supposons donc qu’il choisisse de faire son annonce avant le retournement de la troisième carte. Si les deux premières cartes retournées étaient noires, il a évidemment 100 % de chances de gagner, mais ce cas ne se produit qu’avec une probabilité de 1/6. Parmi les cinq autres cas possibles, deux seulement lui seront favorables. Sa probabilité de gain est donc égale à (1/6) × 1 + (5/6) × (2/5) = 1/2.

 

 

 


Ici encore, il n’y a aucun intérêt à attendre que les deux premières cartes soient retournées.
Enfin, si le joueur attend que les trois premières cartes aient été retournées, la quatrième sera rouge dans trois cas sur six, c’est-à-dire que la probabilité de gain du joueur sera encore égale à 1/2.

Le jeu présenté dans cette version est une interprétation simplifiée du jeu de Robert Connelly, qui le proposait avec un jeu standard de trente-deux cartes, voire de cinquante-deux cartes, et qui démontrait que, quelle que soit la stratégie du joueur, sa probabilité de gagner était toujours égale à 1/2.
Supposons maintenant que le jeu vous soit proposé avec r cartes rouges et n cartes noires. Quelle est alors votre probabilité de gain ?

 

 

SOURCES

Fractal Music, Hypercards and more Mathematical Recreations from Scientific American. Martin Gardner, W.H. Freeman & Co Ltd, 1991.