La théorie des ensembles est à la base de la construction de tout l'immeuble mathématique. Elle est très loin d'être élémentaire : comment définir rigoureusement un ensemble ? Certes, un ensemble est constitué d'une « collection d'objets ». Pour chaque ensemble, il faut alors déterminer de manière précise quels sont les objets qui en font partie, et ceux qui n'en font pas partie. Comment procéder ? La manière la plus simple de définir un ensemble est dite en extension. On se contente de décrire les éléments de l'ensemble comme une collection d'objets. Ainsi, les résultats possibles lors du lancement d'un dé forment un ensemble E, constitué des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On le note E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Une autre façon de procéder est de définir les éléments de l'ensemble en compréhension. Il suffit alors de caractériser tous les éléments que l'on veut inclure à l'ensemble en explicitant une ou plusieurs de leurs propriétés communes. Cette façon de faire peut parfois poser problème, même lorsque les propriétés prises en compte semblent claires.
Du vide à l'ensemble des naturels
L'ensemble le plus facile à définir en extension est l'ensemble ne contenant aucun élément : l'ensemble vide, noté au moyen de la lettre scandinave Lire la suite