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Comme l'affirme David Hilbert dans une phrase devenue célèbre, attribuer un nom à un objet mathématique est artificiel. En revanche, identifier un objet à son image par une bijection de telle sorte que ses propriétés soient mises en valeur peut être décisif.

On considère l'ensemble E_V des habitants d'un village V et celui F de tous les noms possibles et imaginables. Il est clair qu'à chaque personne, en particulier si elle habite V, on peut associer son nom. On vient ainsi de mettre en évidence une application f , de E_V dans F : f : E_V $\mapsto$ F. À chaque élément de E_V, c'est-à-dire chaque habitant de V, elle associe une « image », le nom de cet habitant.

Il y a peut-être des homonymes dans le village V. Si deux personnes portent le même nom, c'est que l'application f n'est pas injective, puisque deux éléments de l'ensemble de départ ont la même image.

De l'injection à l'inclusion

En revanche, si tous les habitants de V ont des noms différents, l'application est dite injective. On peut alors appeler chaque habitant par son nom sans risquer de se tromper ! De là à considérer que les habitants de V ne sont que des noms, il n'y a qu'un pas, qu'il est facile de franchir. Et si, au lieu de leur donner des noms, on affectait aux habitants de V des numéros, ils seraient en droit de s'exclamer, comme Patrick Mac Goohan, numéro 6 du village où il était enfermé dans le ... Lire la suite

Le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble

Un exemple d'application de la bijection au calcul du cardinal d'un ensemble est celui de $\mathcal{P}(E)$ , l'ensemble des parties d'un ensemble E à n éléments. On pose K ={0 ; 1}. Soit F(E, K) l'ensemble des applications de E dans K. Son cardinal est 2ⁿ. En effet, plus généralement, le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de n éléments dans un ensemble de p éléments est pⁿ, dans la mesure où l'ajout d'un élément de E multiplie le nombre de fonctions par p, nombre d'images possibles de cet élément.

On appelle alors b l'application qui, à chaque partie P de E, associe sa fonction caractéristique f _P, application de E dans K qui, à un élément x de E, fait correspondre 1 si x appartient à P, et 0 dans le cas contraire. On montre facilement que l'application de $\mathcal{P}(E)$ dans F (E, K), qui à P fait correspondre sa fonction caractéristique f_P est une bijection (car toute fonction f de F (E, K) est la fonction caractéristique de l'image réciproque de 1, c'est-à-dire de l'ensemble des éléments de E dont l'image par f est 1).

Ainsi, le cardinal de / (E) est celui de F (E, K), soit 2ⁿ.

Une autre façon de dénombrer les parties de E est de totaliser le nombre de parties à 0 élément (soit 1), le nombre de parties à un élément (soit n)… le nombre de parties à k éléments (soit ${ n \choose k }$ ) et ainsi de suite jusqu'à n éléments.

En écrivant la somme, on reconnaît le développement du binôme de Newton :

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k } x^{n-k}y^k$

avec x = y = 1, d'où le résultat, 2ⁿ.

Le nom des éléments d'un ensemble

Gilles Cohen

dossier : Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche

HS Kiosque 61 : Les ensembles

De l'injection à l'inclusion