Pourquoi l'utilisation d'un dictionnaire, aussi volumineux soit-il, est-elle aussi aisée ? Parce que tout y est bien rangé ! L'ordre alphabétique nous enlève une belle épine du pied. Il existe bien d'autres situations dans lesquelles nous sommes confrontés à un processus de classement. Les derniers Jeux olympiques donnent des exemples à la pelle.
Un peu d'ordre…
Quels sont les caractères communs à toutes ces façons de classer ? Les mathématiciens ont dégagé trois notions clés qui permettent de définir une relation d'ordre R sur un ensemble E :
– R doit être réflexive, c'est-à-dire que, pour tout élément x de E, on a x R x ;
– R doit être transitive, c'est-à-dire que si x R y et y R z alors x R z ;
– enfin, R doit être antisymétrique, c'est-à-dire que si x est différent de y alors x R y ou bien y R x, mais pas les deux ! Dit autrement, si x R y et y R x alors x = y.
On retrouve bien ici, de manière formelle, toutes les propriétés de l'inégalité utilisée classiquement sur l'ensemble des nombres réels. En revanche, l'inégalité stricte n'est pas une relation d'ordre : elle n'est pas réflexive.
L'ordre lexicographique est aussi une relation d'ordre, tout comme l'inclusion. Mais si on peut toujours comparer deux nombres réels, si on peut toujours placer deux mots l'un par ...
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