Notre façon de noter un entier M à l’aide des dix chiffres correspond à décomposer M en fonction de puissances de 10. Par exemple, on écrit 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Ceci paraît couler de source car 216 nous est connu par son écriture : la numération de position, que nous devons aux mathématiciens indiens et arabes, utilise cette décomposition pour noter les nombres. En réalité, ces chiffres 6, 1 et 2 se retrouvent par un algorithme très simple : 6 est le reste de la division par 10 de 216 (plus précisément, 216 = 6 + 21 × 10). De même, 1 est le reste de la division euclidienne de 21 par 10 (puisque 21 = 1 + 2 × 10). Il reste enfin 2, qui est strictement inférieur à 10 ; le processus s’arrête.
De l’art de noter les nombres
L’algorithme peut se faire en remplaçant 10 par n’importe quel autre entier p supérieur ou égal à 2. Prenons par exemple p = 5 et décomposons ainsi M = 216. On a 216 = 1 + 5 × 43, puis 43 = 3 + 8 × 5, et enfin 8 = 3 + 1 × 5 ; comme 1 est strictement inférieur à 5, le processus s’arrête.
De même que la suite (6, 1, 2) des restes représentait 216 en base 10, (1, 3, 3, 1) le représente en base 5, et donc 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53.
Décomposons maintenant 216 pour p = 3 ; on obtient la suite (0, 0, 0, 2, ...
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