Pour parler de divisibilité, il est indispensable de considérer un ensemble, celui des nombres sur lesquels on travaille, muni de deux opérations, l’addition et la multiplication. Ce n’est cependant pas suffisant si l’on veut éviter certains pièges (voir FOCUS). Voyons un exemple bien connu, qui fait intervenir les nombres décimaux. Parmi les nombres réels, ce sont ceux qui possèdent un développement décimal fini. Ainsi 1/5 = 0,2 en est un. Par contre, 1/3 = 0,333… n’est pas en ce sens un nombre décimal. Ils peuvent tous s’exprimer sous forme de fraction : si un tel nombre u s’exprime avec un nombre fini n de décimales, en le multipliant par 10n, on obtient un entier a et donc u = a / 10n ; inversement, tout nombre de cette forme est décimal. Mais toute fraction n’est pas forcément un nombre décimal (pensez à 1/3).
Les anneaux intègres
Considérons un ensemble A muni de deux opérations, l’une nommée addition et l’autre multiplication et notées respectivement avec les symboles + et ×. On suppose que A, muni de l’addition, est un groupe commutatif, c’est-à-dire que cette opération est associative, commutative, qu’il existe un élément neutre, noté 0 (tel que 0 + a = a pour tout a de A), et que tout élément a de A possède un opposé, noté – a (tel que – a + a = 0).
On suppose que la multiplication est elle aussi associative, commutative et possède un élément ...
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