Des critères de divisibilité semblent pouvoir être élaborés à l’envi. Contentons-nous de ceux qui ont été rencontrés au cours de pages précédentes, et essayons de voir comment les mobiliser sur quelques petits problèmes arithmétiques.
La suite de Fibonacci revisitée
À tout seigneur, tout honneur : commençons par la suite de Fibonacci, débutant par 0 puis 1, dans laquelle chaque terme est la somme des deux qui le précèdent. La suite se construit donc élément après élément : 0, 1, 1 (= 1 + 0), 2 (= 1 + 1), 3 (= 1 + 2), 5 (= 2 + 3), 8 (= 3 + 5), 13 (= 5 + 8)…
Partons du premier terme, multiplions-le par 10 et ajoutons le deuxième. Multiplions le résultat obtenu par 10 et ajoutons le troisième. Poursuivons ainsi. On obtient successivement 1, 11, 112, 1 123, 11 235, 112 358, 1 123 593… En continuant, des grands nombres apparaissent, dont l’écriture est périodique (des blocs de chiffres se répètent à la suite les uns des autres). N’hésitez pas à poursuivre le procédé pour vous en convaincre. Combien de chiffres une période compte-t-elle, au minimum ?
Désignons par (Ni)i ≥0 les termes successifs de la suite de Fibonacci. On a N0 = 0, N1 = 1, N2 = 1, et Ni+2 = Ni+1 + Nilorsque i ≥ 0. Or, 89 (10–2 × N1 + 10–3 × N2 + 10–4 × N3) est égal à 100 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 +…) – 10 (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …)
– (10–2 N1 + 10–3 N2 + 10–4 N3 + …),
soit encore à N1 + (N2 – N1)10–1 + (N3 – N2 – N1)10–4 + …
Cette dernière quantité vaut simplement 1 + 0 + 0 + …, c’est-à-dire 1. Autrement dit, l’écriture des grands nombres obtenus commence par les parties entières ...
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