Groupes et sous-groupes normaux
Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne, associative, possédant un élément neutre et tel que tout élément possède un symétrique. Parmi les groupes, ceux possédant un nombre fini d’éléments ont passionné des mathématiciens dès les années 1860, tels Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832−1918), Émile Mathieu (1835−1890) ou Marie Ennemond Camille Jordan (1838−1922). Rapidement, des familles de tels groupes sont mises en évidence, comme le groupe des congruences modulo n ou le groupe diédral des isométries laissant stable un polygone régulier à n côtés.
Un sous-groupe H d’un groupe G est une partie vérifiant les axiomes de groupe lorsque l’on restreint la loi de composition à ses éléments. Considérons un élément x de G, on note xH l’ensemble des éléments de la forme xh, avec h dans H (et de même Hx est l’ensemble des éléments hx, avec h dans H) ; la loi est ici notée multiplicativement.
Évariste Galois, déjà, avait mis en évidence des sous-groupes jouant un rôle particulier et que l’on qualifie de normaux (ou distingués) ; ce sont ceux qui, pour tout élément x de G, vérifient xH = Hx. Leur intérêt est de permettre de ramener la structure d’un groupe ...
Lire la suite gratuitement