En 1801, dans ses Disquisitiones arithmeticae (« Réflexions arithmétiques »), au texte entièrement en latin, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss introduit explicitement les congruences : il s’agit désormais de ne plus étudier les nombres isolément, mais en leur attachant tous ceux qui ont même reste qu’eux dans la division par un certain nombre. Même si une telle approche de l’arithmétique remonte à l’Antiquité, l’ouvrage de Gauss fera date dans l’histoire de la théorie des nombres.
Carl Friederich Gauss (1777 – 1855).
Compter comme une horloge
On a tous usé des congruences sans le savoir, ne serait-ce qu’en faisant, dès l’école primaire, la preuve par 9 d’une multiplication. Pour vérifier, par exemple, que 47 × 19 est bien égal, comme on vient de le calculer, à 893, on compare le produit des restes de 47 et de 19 dans la division par 9, c’est-à-dire 2 × 1, au reste du résultat, ici 2. S’il y a égalité, le résultat a de grandes chances d’être exact. Sinon, il est certain que le résultat est faux.
On sait aussi depuis notre enfance que, sur le cadran d’une horloge, « 14 h » se lit « deux heures ». L’horloge, en effet, ne compte pas comme ...
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