Les congruences

L'idée de regrouper les entiers selon le reste de leur division par un nombre donné est vieille comme l'arithmétique. Du « théorème des restes chinois », hérité de la Chine antique et étudié jusqu'au XIIIe siècle, à celui de Fermat, le domaine connaîtra de nombreux progrès, jusqu'à l'arrivée de Gauss, qui formalisera la notion de « congruence » et signera l'acte de naissance de l'arithmétique modulaire. Cette nouvelle et puissante vision des nombres, qui permet d'englober l'infinité des entiers dans un modèle fini, s'applique aussi à des domaines concrets : la preuve par 9, les cycles des calendriers, les codes de sécurité... Elle se retrouve aussi en musique et produit quelques jolies curiosités, comme certains tours de magie.

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L'idée de traiter de nombres avec les restes de leur division par certains entiers au lieu de traiter avec ces nombres eux-mêmes a fait son chemin au fil des temps. Gauss l'a structurée avec ses « congruences », qui ont donné le jour à l'arithmétique modulaire d'aujourd'hui. Les congruences, toute une histoire !


On le savait en cuisine : accommoder les restes est tout un art. C'est aussi le cas en mathématiques, via un concept d'une grande richesse, celui de congruence. Cette notion permet des applications multiples, qui vont de la vie de tous les jours à des cadres très théoriques.


La périodicité des révolutions planétaires induit naturellement la notion de congruence. La plus ancienne trace écrite de problème sur ce thème est connue sous le nom de théorème des restes chinois. Son universalité est à l'origine de nombreuses et fondamentales applications en théorie des nombres et des polynômes.


La magie des nombres

Dominique Souder
Les congruences ne révèlent jamais leur puissance de manière aussi visuelle, saisissante et spectaculaire que dans le registre des tours de magie automatiques. Certes « glissées sous le tapis », elles sont pourtant là, garantissant à l'homme de scène un succès assuré. Le public, lui, ne peut que s'émerveiller devant l'effet produit... et se ...


Mathématiques et musique ont été liées pendant des siècles, avant de se séparer petit à petit. Pour autant, bien des compositeurs restent attachés au langage des nombres. C'est notamment le cas d'Olivier Messiaen, avec qui les congruences s'invitent dans la construction des modes.


En bref : La divisibilité sans calculs

Élisabeth Busser

On ne peut pas les oublier, ils sont ancrés dans notre mémoire d'écolier et de lycéen, mais est-ce bien sûr ? Avons-nous encore en tête tous ces critères de divisibilité que nos professeurs de mathématiques nous ont si souvent serinés ?



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