Dans notre calendrier, la semaine est immuablement composée de 7 jours. L’année légale, quant à elle, compte 365 ou 366 jours, selon qu’elle est ou non bissextile (alors que l’année sidérale dure en moyenne 365 jours 6 heures et 9 minutes).
365 = 52 × 7 + 1 et 366 = 52 × 7 + 2 : l’entier 365 est congru à 1 modulo 7 tandis que 366 est congru à 2 modulo 7. Dit autrement :
365 / 1 (mod 7) et 366 / 2 (mod 7).
En passant d’une année non bissextile à la précédente ou à la suivante, elle aussi non bissextile, on se décale d’une journée dans les jours de la semaine : on recule pour l’année précédente, on avance pour la suivante. Le 18 avril 2022 sera un lundi. Le 18 avril 2021 était donc un dimanche.
Les années bissextiles compliquent un peu la chose à cause du jour supplémentaire du 29 février, qui perturbe les congruences. Si l’on cherche le jour du 18 avril 2020 (année bissextile), on applique un décalage d’une seule journée par rapport à 2021 : c’était donc un samedi. En revanche, lorsqu’on cherche le jour de la semaine d’une date comprise entre le 1er janvier et le 28 février d’une année bissextile, il faut appliquer un décalage de deux jours à cause du 29 février. Ainsi le 25 janvier 2021 était un lundi, mais le 25 janvier 2020 était un samedi.
Bissextile ou pas ?
Les années bissextiles sont celles dont le millésime est multiple de 4, à l’exception de celles dont le millésime est multiple de 100 mais non multiple de 400.
Ainsi 2020 était bissextile, de même que 2000 (multiple de 400), mais 1900 ne l’était pas (multiple de 100 mais pas de 400).
Entre le 18 avril 2007 et le 18 avril 2021, il s’est donc écoulé quatorze années dont quatre années bissextiles (2008, 2012, 2016 et 2020), ce qui représente 14 × 365 jours + 4 jours. Ce nombre est congru à 14 × 1 + 4, soit à 4 modulo 7.
Si le 18 avril 2021 était un dimanche, il faut donc reculer de quatre jours de la semaine pour obtenir le 18 avril 2007, qui était un mercredi.
1. Éléonore est née le 10 mars 2010. Quel jour de la semaine était-ce ?
Son père Romain est né le 28 octobre 1977. Quel jour était-ce ?
Un collectionneur possède tous les agendas de 1901 à 2021. Quels sont ceux qu’il pourra réutiliser tels quels en 2022, sachant que le 1er janvier 2022 sera un samedi ?
Dans ce tableau, on observe que l’agenda de 2011 correspond à celui de 2022, car le décalage est égal à –14, congru à 0 modulo 7. L’agenda précédent sera celui de 2005 (décalage égal à –21), le précédent celui de 1994 (décalage égal à –35). Le millésime de 1994 est similaire à celui de 2022 : il est pair non multiple de 4.
Le cycle (–11 ans ; –17 ans ; –28 ans) va donc se reproduire ; on en déduit les années précédentes postérieures à 1900 ayant le même agenda que 2022, à savoir : 2011, 2005, 1994, 1983, 1977, 1966, 1955, 1949, 1938, 1927, 1921, 1910.
2. Quels agendas ce collectionneur pourra-t-il réutiliser en 2024 ?