En 1824, Abel a réussi à prouver que l’équation générale de degré 5 n’est pas résoluble par radicaux. Il ignorait que le mathématicien italien Paolo Ruffini avait « démontré » ce théorème en 1799. Le mémoire de Ruffini, d’une lecture extrêmement difficile, écrit en italien et critiqué sur certains points essentiels, ne fut apprécié à sa juste valeur que par Cauchy, beaucoup plus tard.
Paolo Ruffini (1765–1822).
Niels Henrik Abel (1802–1829) photographié par Johan Gorbitz.
La démonstration d’Abel, bien qu’imparfaite, fut acceptée par la communauté mathématique de l’époque. Ses travaux, puis ceux de Galois quelques années plus tard, abordent une question ancienne et légitime : comment reconnaître si une équation particulière est ou non résoluble par radicaux ? Le mathématicien français, se fondant sur la théorie des substitutions initiée par Ruffini puis développée par Cauchy, a réussi à démontrer le fameux critère au centre de la théorie classique de Galois.
En fait, le texte fondamental sur les équations algébriques a été écrit par Lagrange en 1770-1771 (voir Les Groupes, le hors-série 80 de Tangente, 2021) mais il n’est guère cité par Abel et ...
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