On peut obtenir des pavages périodiques, c’est-à-dire invariants par deux translations de vecteurs non colinéaires (pensez à un carrelage de salle de bain constitué de carrés, de parallélogrammes ou d’hexagones). On peut aussi obtenir des pavages non périodiques : avec un triangle isocèle bien choisi, on peut construire une sorte de spirale, qui n’est donc invariante par aucune translation. Se pose alors la question suivante : si l’on se donne un ensemble de tuiles qui pavent le plan, est-il possible qu’aucun des pavages obtenus ne soit périodique ?
Une longue quête dans l’apériodicité
L’une des particularités qui donnent toute sa saveur à l’énigme des pavés apériodiques est de savoir si certains pavés, donnant des contraintes de pavage locales, en donnent aussi globalement sur tout le plan.
Dans sa thèse de 1964, l’Américain Robert Berger (né en 1938) démontre l’existence d’un ensemble de pavés apériodiques. Il en propose même un jeu de 20 426 formes ! La course est lancée : peut-on faire mieux ? Rapidement, l’auteur réduit son propre score à 104 pavés, puis d’autres brillants mathématiciens, comme Donald Knuth, Raphael Robinson ou Roger Penrose, font descendre ce nombre à 92, 35, 34, 16 puis 6 en 1971.
En 1974, Penrose réduit le jeu à seulement 2 pavés, la fléchette et ...
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