Un peu de géométrie des triangles rectangles
Un triangle ABC rectangle en C a des éléments géométriques associés plus « simples » que le triangle général :
- son orthocentre H est le sommet C ;
- le centre O de son cercle circonscrit est tout simplement le milieu de son hypoténuse, et le rayon de celui-ci la moitié de la longueur de cette dernière, soit AB/2 = c/2 ;
- le centre de gravité G se trouve aux deux tiers de la médiane [CO] ;
- la droite d’Euler, à laquelle appartiennent les points O, G et H, n’est donc autre que la droite (CO) ;
- le cercle d’Euler est donc le cercle de diamètre [CO]. Les fameux neuf points situés sur ce cercle se réduisent à cinq : les trois milieux des côtés, le sommet C et son projeté sur l’hypoténuse.
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Le cercle des neufs points d’un triangle rectangle est ici un cercle des cinq points.
Le cas des triangles pythagoriciens primitifs
Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle à côtés de longueurs entières ; ce sont ceux qui nous intéressent ici.
La forme générale des triplets pythagoriciens primitifs (sans diviseur commun autre que 1) de premier terme impair est la suivante (voir en page suivante) :