Les triplets pythagoriciens
Lequel de nos lecteurs ne connaît le triplet (3, 4, 5), matérialisé par la « corde à treize nœuds » des bâtisseurs de l’Égypte antique puis du Moyen Âge ? Pourquoi 3, 4, 5 ? Parce que 32 + 42 = 52, c’est simple comme le théorème de Pythagore !
Cette relation relie les longueurs des trois côtés du triangle rectangle le plus élémentaire qui soit. Au-delà de ces trois nombres devenus mythiques, explorer les triplets pythagoriciens permettra non seulement de savoir que le théorème de Pythagore était déjà connu bien avant la naissance du plus célèbre des savants de l’Antiquité, mais aussi de percer les secrets de ces groupes de trois entiers, à travers les procédures qui vont permettre de les construire. Cela conduira aussi à étudier les différentes propriétés de toutes les variétés de « triangles pythagoriciens ». Mais savez-vous que Fermat, pour montrer que « l’aire d’un triangle rectangle ne peut être un carré », en a déduit sa méthode de « descente infinie » ? Le voyage à travers ce thème réserve de belles surprises !
Cette relation relie les longueurs des trois côtés du triangle rectangle le plus élémentaire qui soit. Au-delà de ces trois nombres devenus mythiques, explorer les triplets pythagoriciens permettra non seulement de savoir que le théorème de Pythagore était déjà connu bien avant la naissance du plus célèbre des savants de l’Antiquité, mais aussi de percer les secrets de ces groupes de trois entiers, à travers les procédures qui vont permettre de les construire. Cela conduira aussi à étudier les différentes propriétés de toutes les variétés de « triangles pythagoriciens ». Mais savez-vous que Fermat, pour montrer que « l’aire d’un triangle rectangle ne peut être un carré », en a déduit sa méthode de « descente infinie » ? Le voyage à travers ce thème réserve de belles surprises !
LES ARTICLES
Le théorème de Pythagore… avant Pythagore !
Antoine Houlou-Garcia
Pythagore n’aurait jamais accepté qu’on nomme le résultat en question par son nom, lui qui savait bien qu’il l’avait appris lors de ses voyages initiatiques. Nous allons voir qu’il existait déjà à Babylone et en Inde !
Obtenir les fameux triplets arithmétiques
Jean Aymès
Caractériser tous les triangles rectangles à côtés entiers du plan revient à déterminer tous les triplets pythagoriciens. Le problème géométrique devient, en apparence, purement arithmétique ! Comment les mathématiciens ont-ils procédé pour mener à bien cette quête ?
Avec la descente infinie de Fermat
Anne Boyé
Pierre de Fermat écrit qu’il a réussi à prouver qu’un triangle rectangle ne peut jamais recevoir pour aire un entier qui soit un carré parfait. Pour ce faire, il introduit une méthode de raisonnement qui passera à la postérité : la descente infinie.
En bref : Les triangles pythagoriciens
Robert FerréolLorsque les longueurs des côtés d'un triangle forment un triplet pythagoricien, on a affaire à un triangle pythagoricien. Découvrez leurs propriétés...
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