Un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré de la longueur du plus grand côté est somme des carrés des deux autres. Tel est l’énoncé du théorème dit « de Pythagore » de la géométrie euclidienne.
(3, 4, 5) est l’exemple le plus notoire de triplets d’entiers, fournissant les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Cela s’applique à la conception d’un instrument : la corde à treize nœuds, régulièrement découpée en douze intervalles, permet de déterminer les côtés d’un triangle de longueurs respectives 3, 4, 5. Ce triangle est rectangle et la corde à treize nœuds aurait été, dit-on, l’équerre des bâtisseurs égyptiens.
Un problème en nombres entiers
Plus largement, l’équation x 2 + y 2 = z 2, pour laquelle on recherche seulement les solutions (x, y, z) avec x, y et z des entiers non nuls, est appelée équation pythagoricienne et ses solutions triplets pythagoriciens. La question devient un problème d’arithmétique ! C’est un exemple d’équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. Du fait de l’importance du travail relativement systématique de Diophante d’Alexandrie à ce sujet (en témoignent ses Arithmétiques au IIIe siècle), on nomme équation diophantienne ce type ...
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