L’inégalité de Cauchy-Schwarz découle du fait que, dans un plan euclidien (c’est-à-dire muni d’un produit scalaire), l’égalité est valable pour tout couple de vecteurs non nuls. Cette inégalité exprime le fait que la valeur absolue d’un cosinus est inférieure ou égale à 1. On peut cependant démontrer l’inégalité pour n = 2 par un calcul simple, ou par un raisonnement géométrique.
Inégalité géométrique : l’aire d’un parallélogramme est inférieure à celle d’un rectangle ayant des côtés de même longueur.
Inégalité arithmétique ou de Cauchy pour des n-uplets : soient ( a1, a2, a3… an ) et ( b1, b2, b3… bn ) deux n-uplets de réels positifs.
On a alors :
Inégalité de Bouniakowsky (intégrale) : soient f et g deux fonctions numériques continues (ou seulement de carré intégrable) sur l’intervalle [a,b].
On a alors :
Inégalité dans un espace euclidien (ou hermitien) : soient deux vecteurs et
d’un espace euclidien.
On a alors :