L'analyse pour ordonner
Améliorer, gagner un peu par-ci, éviter de perdre trop par-là, optimiser… tout cela est du ressort de l’analyse ! Si l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations et ainsi de majorer ou de minorer de nombreuses expressions. Parmi les vedettes du domaine, on trouve l’inégalité arithmético-géométrique, bien connue des lycéens, et celle de Cauchy‒Schwarz, plus avancée mais d’une puissance redoutable.
LES ARTICLES
Une histoire de moyennes bien rangées
Fabien Aoustin
« La » moyenne de deux nombres se définit « naturellement » en fonction du contexte. Il ne s’agit pas toujours de l’habituelle moyenne arithmétique ! Différentes notions coexistent, qui entretiennent d’étroites relations les unes avec les autres, comme Liouville, Cauchy ou Jensen l’ont bien compris.
Tchebychev et les suites monotones
Daniel Justens
Des résultats élémentaires peuvent parfois se révéler étonnamment fertiles et déboucher sur une multitude de développements et d’applications. C’est le cas de l’inégalité de Tchebychev.
L’inégalité de Cauchy‒Schwarz
Bertrand Hauchecorne
L’inégalité de Cauchy – Schwarz est multiforme : elle peut être arithmétique, intégrale, géométrique ; on la retrouve même dans le cadre du calcul des probabilités. Suivons l’histoire de son élaboration, de la formulation numérique de Cauchy vers 1820 à sa forme générale cent ans plus tard.
De l’ordre dans le désordre
Fabien Aoustin
Prenez une suite de nombres au hasard. Il est peu probable que tous ces nombres soient d’emblée classés par ordre croissant ou décroissant. A-t-on l’espoir d’en extraire quand même des suites parfaitement ordonnées ? Oui, mais pas forcément aussi longues qu’on le souhaite !
Un petit florilège
Daniel Lignon
En mathématiques, il existe de nombreuses inégalités, faisant souvent intervenir les ressources du calcul différentiel ou du calcul intégral. Beaucoup de problèmes trouvent leur solution à l’aide de ces inégalités. Partons donc à leur découverte !
En bref : La relation d’inégalité usuelle dans les nombres
Daniel LignonQuand on connaît leur valeur, on peut toujours comparer deux nombres quelconques, qu’ils soient entiers, fractionnaires ou réels, et dire lequel est le plus petit.
En bref : Résoudre une inéquation
Daniel LignonCertains de nos lecteurs ont sans doute de mauvais souvenirs avec les inéquations.
En bref : Cinq variantes de l’inégalité de Cauchy‒Schwarz
Bertrand HauchecorneL'inégalité de Cauchy-Schwarz se décline dans plusieurs branches des mathématiques : analyse, arithmétique, géométrie, probabilités... Elle est si importante que de nombreuses démonstrations très différentes en ont été proposées !
En bref : Encore des moyennes
Fabien Aoustin et Daniel LignonLes moyennes arithmétique, quadratique, géométrique, harmonique (et tant d'autres) sont en fait quelques exemples d'une famille générale, les moyennes d'ordre p. Elles vérifient une chaîne d'inégalités bien connues.
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