La moyenne harmonique
Il existe bien des façons de calculer une « moyenne ». Imaginons que vous parcouriez un chemin serpentant jusqu’au sommet d’une colline à 4 km/h à l’aller et à 6 km/h au retour. Quelle est votre vitesse moyenne ? Il est tentant de répondre 5 km/h, mais ceci est en fait la moyenne des vitesses, et non la vitesse moyenne !
Si le chemin mesure 1 km, il vous a fallu quinze minutes pour le parcourir à l’aller et dix minutes au retour, soit un total de vingt-cinq minutes, ou d’heure.
Finalement, votre vitesse sur l’ensemble du périple est de 2 / (25/60) = 4,8 km/h.
Cette moyenne-là est la moyenne harmonique :
Cette définition s’étend bien sûr à plus de deux réels.
On la rencontre aussi en électricité, puisque la somme des inverses des résistances de dipôles montés en parallèle est l’inverse de la résistance du dipôle équivalent.
Sur notre exemple, la moyenne harmonique (4,8) se révèle inférieure à la moyenne arithmétique (5). C’est en fait toujours vrai et pour le démontrer, il suffit d’appliquer… la moyenne arithmético-géométrique !
En effet, cette dernière appliquée aux inverses des réels xi (pour i variant de 1 à n) donne
Lire la suite gratuitement