Parmi les nombres irrationnels, pourquoi différencier deux types de nombres, algébriques et transcendants ? D’où est venue cette idée ? Revenons au milieu du xviii e siècle alors que la notion de fraction est bien connue et que les rationnels sont considérés désormais comme des nombres à part entière. Démontrer qu’un nombre est ou n’est pas irrationnel prend de l’intérêt. Leonhard Euler dégaine le premier avec son nombre fétiche e = exp(1), base du logarithme népérien, en montrant son irrationalité, ainsi que celle de son carré. Sa démonstration se trouve exposée dans son ouvrage De fractionibus continuis, publié en 1737, dans lequel il exprime ce nombre à l’aide d’une fraction continue. Le mathématicien allemand Johann Lambert (1728‒1777) entre à l’Académie de Berlin en 1765 et y côtoie le mathématicien suisse. Il s’inspire de sa méthode pour montrer, de manière plus générale, que si x est un rationnel non nul, alors les valeurs exp(x) et tan(x) sont irrationnelles ; il montre également l’irrationalité du nombre π.
Leonhard Euler (1707‒1781).
Afin d’avoir une meilleure approche de ces nombres, on peut naturellement se poser la question de savoir s’ils ne seraient pas la racine d’une équation polynomiale à coefficients entiers ...
Lire la suite