L’ensemble des nombres algébriques est stable par addition et multiplication : muni de ces opérations, c’est un corps (voir article « L'esprit de corps quadratique »). Par conséquent, la somme et le produit de deux nombres algébriques est algébrique. Ce n’est pas le cas de la somme ou du produit de deux nombres transcendants, qui peut très bien être un nombre algébrique, voire un entier, comme dans le cas des nombres :
Donc se pose tout de suite la question de la somme et du produit des deux transcendants les plus célèbres : s = π + e et p = πe. On ne sait rien sur ces deux nombres individuellement, mais paradoxalement, comme on l’a vu (voir fin de l'article « Histoire d'e »), on est sûr que l’un des deux (au moins) est transcendant.
Qu’en est-il des puissances ?
Dans le cas des puissances, c’est-à-dire pour ab, avec a réel strictement positif différent de 1 et b réel, on sait beaucoup de choses, mais pas tout !
Si a est algébrique et b rationnel, alors ab est algébrique, ce qui semble assez naturel : par exemple, est algébrique.
Beaucoup moins évident : si a est algébrique et b ...
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