La numération grecque était bornée par la myriade M, de valeur dix mille, ce qui était suffisant pour dénombrer l’armée du grand Darius. Mais ce système était impuissant pour compter les grains de sable, comme l’exprimait le poète Pindare : « Le sable [arena en grec] échappe au nombre. »
Pour y remédier, Archimède invente dans son ouvrage L’Arénaire un système équivalent à notre système décimal avec pour base la myriade de myriades, notée ici N = M2. Les « premiers nombres » vont de 1 à N = 108, les « seconds nombres » de N à N2 = 1016, et ainsi de suite jusqu’à le dernier des « N ièmes nombres ». Archimède continue alors le processus avec A pour nouvelle base pour montrer la puissance de sa notation.
Il considère une « première période » de 1 à A, et ainsi de suite jusqu’à Il définit de la sorte un nombre supérieur aux nombres de grains d’un « Univers complètement ensablé ». Le très moderne Archimède a ainsi été le premier à utiliser un principe exponentiel.
Le rôle de la trigonométrie
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Dès l’Antiquité, on observe donc que, dans une suite géométrique *un = qn de raison q, le produit du n*ième terme par le mième terme est égal au (n+m)ième terme. Ce remplacement d’un produit par une somme est bien mis en évidence par la notation exponentielle :
