Être algébrique ne veut pas dire s’exprimer avec des radicaux..

 

Quand on donne des exemples de nombres algébriques, ce sont toujours des expressions contenant des nombres entiers, voire des rationnels avec des radicaux, c’est-à-dire des racines nièmes, éventuellement pour diverses valeurs de n. Par exemple, on peut trouver : , le nombre d’or

  

En conséquence, beaucoup pensent que tout nombre algébrique peut s’exprimer à l’aide de radicaux. En fait, il n’en est rien !

Par exemple, l’équation x5 ‒ x ‒ 1 = 0 admet cinq racines : une est réelle et les quatre autres sont complexes, conjuguées deux à deux. Mais aucune de ces racines ne peut s’exprimer à l’aide de radicaux ! Pourtant, ces cinq racines sont bien des nombres algébriques, et même des entiers algébriques.

Les racines d’une équation polynomiale quelconque de degré inférieur ou égal à 4 peuvent toujours s’exprimer à l’aide de radicaux. Cela est évident pour le degré 1. La résolution du trinôme, bien connue des lycéens, donne la réponse pour le degré 2. Dans le cas du degré 3, une méthode due aux algébristes italiens du XVIe siècle et révélée par l’un des leurs, Jérôme Cardan (1501‒1576), permet de se ramener à des équations de degré 2 et, dans le cas du degré 4, c’est à Ludovico Ferrari (1522‒1565) que l’on doit une ... Lire la suite gratuitement