Euclide a établi sa géométrie à partir de la règle et du compas et pensait que tout nombre pouvait être construit avec ces seuls instruments. Une longue recherche des nombres effectivement constructibles s’engage alors, qui n’aboutira qu’au XIXe siècle avec les travaux de Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848).
En 1837, ce dernier démontre, en particulier, la réciproque d’un théorème de Carl-Friedrich Gauss (1777-1855), publié en 1801 dans ses Disquisitiones arithmeticae, qui stipulait que « si n = 2k p1 p2…pq, avec k ou q éventuellement nuls, où les pi sont des nombres de Fermat distincts, le polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas », sachant qu’un nombre de Fermat est un nombre premier de la forme
Une construction exacte selon Gauss
Ce théorème à la double paternité est dit « de Gauss-Wantzel ».
Puisque la médiatrice d’un segment est constructible (sous-entendu à la règle et au compas), on peut toujours doubler le nombre de côtés d’un polygone. Les premiers nombres de Fermat étant F0 = 3 et F1 = 5, on peut donc construire les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 côtés.
Le suivant est l’heptadécagone à F2 = 17 côtés dont Gauss a proposé, en 1796, ...
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