Processus itératifs et récurrence
Apparu clairement dans des écrits de Pascal autour de questions arithmétiques et combinatoires (dont le triangle de Pascal), le raisonnement par récurrence trouve une place naturelle dans l'étude des suites, permettant de formaliser, généraliser puis améliorer des méthodes de résolution approchées d'équations connues depuis des siècles. Henri Poincaré dira qu'il est « le raisonnement mathématique par excellence ». La récurrence permet des constructions parmi les plus mémorables, de la suite de Fibonacci à l'algorithme de Héron (pour approcher la racine carrée d'un nombre positif). Si l'itération d'un processus calculatoire répond à des problématiques pratiques depuis l'Antiquité (souvent pour améliorer la précision d'un résultat ou résoudre de façon concrète un problème), itérer un raisonnement permet d'accéder à des considérations plus théoriques.
LES ARTICLES
Un outil puissant pour le raisonnement
Daniel Justens
En permettant de tirer d'une seule application une infinité de conclusions, le raisonnement par récurrence est l'une des grandes réussites de la mathématique. La construction de suites récurrentes permet la modélisation d'objets intéressants dans les applications et la résolution d'une gamme variée de problèmes.
Récurrence linéaire et épidémie de bosse des maths
Gilles Cohen
Les suites récurrentes constituent un domaine souvent mis en avant, en particulier dans les jeux et problèmes. Une bonne occasion de parler des processus de récurrences linéaire et affine auxquels elles font régulièrement appel.
Blaise Pascal à l'assaut de la récurrence
Fabien Aoustin
Si les spécialistes débattent encore de la naissance du raisonnement par récurrence, ils s'accordent souvent à reconnaître le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal comme le premier lieu de son explicitation. Visite guidée d'un monument historique de la démonstration.
L'algorithme de Héron
Fabien Aoustin
Héron d'Alexandrie est connu pour une célèbre formule donnant l'aire d'un triangle sans connaître sa hauteur. On lui doit également des mécanismes extrêmement perfectionnés, et une méthode récursive extraordinairement efficace d'approximation de la racine carrée d'un nombre positif.
Des méthodes itératives pour la résolution d'équations
Daniel Lignon
On trouve des suites, y compris des suites définies par récurrence, dans quantité de domaines des mathématiques. C'est le cas des méthodes de résolution numérique des équations qui sont, de fait, des méthodes itératives, ce qui explique la présence de suites.
En bref : Les multiples visages du raisonnement par récurence
Fabien AoustinLe raisonnement par récurrence est un outil aussi classique qu'indispensable dont la formulation se résume facilement.
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