Prenez une grande éprouvette graduée et remplissez-la aux trois quarts d’eau. Plongez-y entièrement un double-mètre traditionnel. La différence de jauge représente le volume de ce double-mètre. On mesure ainsi le… volume d’une longueur. Avec une balance à plateaux, on aurait de même pu mesurer la… masse d’une longueur. Il en est de même avec certaines suites de nombres entiers, qui mesurent l’une ou l’autre de leurs « briques élémentaires ».

La suite A125132 (c’est le nom que lui donne la base encyclopédique de Neil Sloane) fournit ainsi les positions qu’occupent les chiffres impairs dans A125132 elle-même. Elle commence par 1, 3, 5, 2, 7… Il y a bien un chiffre impair en position 1, un autre en position 3, un autre en position 5, un autre en position 2, un autre en position 7… Cette suite est la première ayant cette propriété. On a A125132 = 1, 3, 5, 2, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47… La proportion (ou mesure) de chiffres impairs dans la suite est d’environ 53 %.

Vous auriez aimé que les nombres impairs apparaissent dans un ordre croissant ? C’est possible, et c’est ce que réalise A114308, qui commence par 1, 4, 6, 7… On a bien un nombre impair en position 1, un autre (plus grand) en position 4, un autre (encore plus grand) en position 6, un autre (toujours plus grand) en position 7… Par contre, la proportion de chiffres impairs s’effondre à 5 % seulement. On a A114308 = 1, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 21, 22, 24, 31, 41, 42, 44, 46, 50, 60, 62, 64, 66, 71, 81, 83…

Des chiffres et des lettres

Autoportrait aux chiffres. Étienne Lécroart.

Que mesure A139132 ? Cette suite décrit la position de ses voyelles dans la succession infinie des lettres : « Un, quatre, cinq, huit, dix, quatorze, quinze, dix-huit, vingt et un, vingt-deux, vingt-quatre… » Il y a en effet un U (voyelle) en position 1, un autre U (voyelle toujours) en position 4, un A (encore une voyelle) en position 5, un E (toujours une voyelle) en position 8, et ainsi de… suite.

L’équivalent consonantique de A139132 est A139356 : « Quatre, un, cinq, huit, neuf, onze, douze, treize, seize… » À vous de vous en convaincre !

A238980 joue aussi avec la parité de ses chiffres. Soulignez donc tous les chiffres impairs de cette suite (1, 3, 5, 7, 9 au début, puis le 1 de « 21 » mais pas le 2, etc.). Les chiffres soulignés et les chiffres non soulignés se présentent par blocs. Eh bien, les tailles successives de ces blocs sont données par la suite elle-même ! En effet, A238980 = 1, 2, 4, 3, 5, 7, 9, 6, 8, 21, 11, 13, 20, 22, 24, 23, 15, 17, 19, 31, 26, 28, 40, 33, 35, 37, 39… Ingénieux, non ?

A121845 applique une autre technique : celle du parenthésage. C’est une technique très féconde, qui permet de constituer des blocs (de termes, ou de chiffres) dont la taille sera donnée par la suite elle-même. Ainsi, si l’on entoure de parenthèses les sous-ensembles d’entiers consécutifs (comme 2019, 2020, 2021), on transforme ceci :

A121845 = 1, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 20…

en ceci :

A121845 = 1, (3, 4, 5), (2, 3, 4, 5), (7, 8, 9, 10, 11), (6, 7), (12, 13, 14), (16, 17, 18, 19), (15, 16, 17, 18, 19), (21, 22, 23, 24, 25,26, 27), 20…

En admettant que le premier terme constitue un bloc de taille 1, on voit que suivent des blocs de tailles 3, 4, 5 puis 2, 3, 4, 5 puis 7… Ces tailles d’entiers consécutifs reconstituent la suite elle-même !