Les nombres autobiographiques

Quelle est la particularité du nombre 6 210 001 000 ? Il est autodescriptif. En effet, son premier chiffre, 6, correspond au fait que son écriture (en base 10) contient six zéros. Son second chiffre, 2, correspond au fait qu’il contient deux chiffres 1. Il ne contient aucun 3, aucun 4, aucun 5, aucun 7, aucun 8, aucun 9, un chiffre 2 et un chiffre 6.

De tels nombres existent dans toutes les bases de numération à partir de la base 4. Leur liste constitue la suite
(1 210, 2 020, 21 200, 3 211 000, 42 101 000, 521 001 000, 6 210 001 000, 72 100 001 000, 821 000 001 000, 9 210 000 001 000…). Sur le site On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ces nombres sont qualifiés d’autobiographiques et définissent la suite A046043.

Une autre suite du même site répertorie les paires de nombres qui se décrivent mutuellement, selon le même principe.

Chaque nombre de la colonne de gauche décrit l’entier correspondant de la colonne de droite, et vice versa, dans une base de numération donnée. Ainsi, 130 décrit le nombre
1 101, qui s’écrit avec un 0, trois 1 et aucun 2, tandis que 1 101 décrit le nombre 130, qui s’écrit avec un 0, un 1, aucun 2 et un 3 (en base 4).

1. Trouvez deux nombres de dix chiffres (en base 10) qui se décrivent mutuellement.

Les nombres Harshad

Les nombres autodescriptifs de b chiffres dans la base b sont toujours divisibles par la somme de leurs chiffres dans la base considérée. Ainsi, 1 210 (considéré comme l’écriture en base 4 du nombre 100) correspond bien à un nombre divisible par la somme de ses chiffres, à savoir 4.

2. Démontrez que tout nombre autodescriptif de b chiffres dans une base donnée b est divisible par la somme de ses chiffres.

Les entiers divisibles par la somme de leurs chiffres sont connus sous le nom de nombres Harshad (ce qui signifie en sanscrit « qui procure de la joie »). Ils ont été étudiés par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar. On les appelle aussi nombres de Niven. Ivan Niven était un mathématicien américano-canadien qui donna une conférence sur ces nombres lors d’un congrès mathématique en 1977.

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905–1986).

Ivan Morton Niven (1915–1999).

Les premiers nombres Harshad sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204…

Niven a également étudié les nombres divisibles par as (n) + b, où s (n) désigne la somme des chiffres de n, et où a et b sont des entiers naturels (les nombres Harshad correspondant au cas a = 1 et b = 0).

3. Parmi les nombres Harshad ci-dessus, quels sont ceux qui sont divisibles par le double de la somme de leurs chiffres ? Par le triple de la somme de leurs chiffres ?