Le 421 se pratique à deux joueurs ou plus, qui comparent leurs combinaisons et se répartissent des fiches. Les règles de répartition de ces fiches peuvent varier d’une région à l’autre. Intéressons-nous ici uniquement aux combinaisons et à la probabilité d’obtenir la meilleure, à savoir le 421.
À tour de rôle, chaque joueur lance les trois dés, qui sont indifférenciés. On a donc 63, soit 216 possibilités. S’il le souhaite, pour améliorer sa combinaison, le joueur peut relancer un dé, ou deux dés de son choix, ou même les trois dés, et ceci au maximum deux fois.
Les combinaisons sont, par ordre de valeurs décroissantes :
• le 421 (un 4, un 2 et un As) ;
• deux As et un troisième dé différent (dans l’ordre 611, 511, 411, 311, 211) ;
• un brelan (appelé aussi zanzi) : trois dés identiques (par valeurs décroissantes, brelan d’As, de 6, de 5, de 4, de 3, de 2) ;
• la séquence (ou tierce) : trois valeurs qui se suivent (par valeurs décroissantes 654, 543, 432 ou 321) ;
• toutes les autres combinaisons possibles, par valeurs décroissantes, de 665 à 221 (combinaison appelée nénette).
Quand le seul objectif est 421
Considérons que le seul but d’un joueur est d’obtenir 421. La probabilité de l’avoir en un seul jet des trois dés est égale à 6 × (1/6)3, soit 1/36. En effet, l’ordre des chiffres étant indifférent, les six combinaisons (124, 142, 214, 241, 412 et 421 comptent toutes pour « un 421 »). Tant que le joueur n’obtient aucun des chiffres 4, 2, 1, il relancera les trois dés, et s’il n’obtient qu’un ou deux de ces trois chiffres, il relancera le ou les dés qui ne lui conviennent pas.
• Cas 1 : au premier lancer, le joueur obtient deux chiffres a et b de l’ensemble E = {4 ; 2 ; 1} et un troisième chiffre ne permettant pas d’atteindre 421. On compte exactement soixante-douze telles configurations. En effet, il faut compter les trois fois six configurations {a ; b ; x} où x = 3, 5 ou 6, ainsi que les trois configurations {a ; a ; b} et les trois configurations {a ; b ; b}, ce qui donne vingt-quatre configurations. Mais{a ; b} pouvant être égal à {4 ; 2},{4 ; 1} ou {2 ; 1}, la probabilité d’être dans ce cas au premier lancer est donc égale à 72/216, soit 1/3.
Le joueur relancera alors le dé portant le troisième chiffre, avec une probabilité de 1/6 d’obtenir le chiffre souhaité à chaque fois. La probabilité d’obtenir 421 au deuxième lancer est alors égale à (1/3)×(1/6), soit 1/18. Si ce deuxième lancer échoue (cinq chances sur six), le joueur lancera encore une fois ce troisième dé, avec une probabilité de réussite égale à (1/3)×(5/6)×(1/6), soit 5/108.
Ainsi, la probabilité d’obtenir 421 au deuxième ou au troisième lancer en ayant deux bons chiffres au premier lancer est égale à 1/18 + 5/108, soit 11/108.
• Cas 2 : au premier lancer, le joueur obtient seulement un chiffre a de l’ensemble E = {4 ; 2 ; 1} et deux chiffres égaux à a ou n’appartenant pas à E. On compte exactement cent onze combinaisons de ce type avec une probabilité égale à 37/72 (assurez-vous-en !).
Dans ce cas, le joueur relancera deux des dés n’affichant pas a, et différentes possibilités se présentent :
2.1 : les deux chiffres souhaités apparaissent ;
2.2 : un seul bon chiffre apparaît et le joueur relancera le troisième dé pour tenter d’obtenir le chiffre manquant ;
2.3 : aucun bon chiffre n’apparaît au deuxième lancer, auquel cas le joueur procédera à un troisième lancer.
Quelles sont les probabilités respectives associées à ces différents scénarios ?