On observe que : 2 = l2 – 22 + 32 – 42 + 52 + 62 – 72 et 4 = l2 – 22 – 32 + 42.
Écrivez une égalité analogue pour les entiers n = 5, n = 6, n = 11 (on part de 12 puis on ajoute ou on retranche les carrés d’entiers consécutifs de façon à obtenir n).
Écrivez ainsi 2 003 avec le minimum de carrés.
Montrez que si l’on peut ainsi écrire n avec k carrés, on peut écrire n + 4 avec k + 4 carrés. Prouvez alors que tout entier n (avec n > 7) peut s’écrire avec au maximum n carrés.