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Signature et théorème des pavages


Jean-Jacques Dupas

Y avez-vous déjà prêté attention ? Sur les frises, pavages et autres motifs périodiques qui se répètent ou obéissent à des symétries, le nombre de possibilités offertes à l'artiste est somme toute assez limité. Un théorème fondamental permet de dénombrer complètement ces motifs.


Comment décrire la symétrie d’une figure ? Il est nécessaire pour cela d’utiliser un langage mathématique. L’un des plus connus, réputé pour son efficacité, a été initié par Alexander Murray MacBeath (1923-2014), puis adapté par William Thurston (1946-2012) et John Horton Conway (né en 1937).

Attention, le mot « symétrie » utilisé dans cet article va au-delà de la symétrie par rapport à une droite ou un point. On parlera de symétrie quand une partie d’une figure peut être retrouvée avec la même échelle (on a affaire à une isométrie, une transformation bijective qui conserve les distances). D’ailleurs, le terme grec syn signifie « même » et métrie est la « mesure ». 

Une fois toutes les symétries d’une figure connues, il suffit de transformer le motif source en les lui appliquant afin de reconstituer la figure globale. On se limitera donc ici exclusivement aux isométries, directes ou indirectes, à savoir : les symétries centrales ou axiales (réflexions), les rotations, et leurs composées. 

 

Miroir, mon beau miroir…

Une isométrie minimale d’une figure est une symétrie bilatérale, la symétrie classique par rapport à une droite, où la figure semble partagée par une ligne, le miroir (en gris sur les ... Lire la suite


références

The Symmetries of Things. John Horton Conway, Heidi Burgel et Chaim Goodman-Strauss, AK Peters–CRC Press, 2008.
Le logiciel Kali, développé par Jeffrey Weeks.