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Le déterminant : un outil essentiel en algèbre linéaire


Bertrand Hauchecorne

Le déterminant est un critère pour reconnaître le caractère bijectif d'un endomorphisme. Son interprétation géométrique nous renseigne en outre sur la nature des transformations linéaires.


Le lien avec les systèmes linéaires

La première étude d'un système linéaire, en ce cas trois équations et deux inconnues, est l'œuvre de Leibniz dans les années 1670. Dans son ouvrage Treatise of Algebra, publié de façon posthume en 1748, Colin MacLaurin traite des systèmes allant jusqu'à quatre inconnues ; on y voit apparaître des quantités proches des déterminants actuels. Par la suite, Gabriel Cramer définit le déterminant tel que nous le connaissons, mais son calcul est élaboré car la notation matricielle (en tableau) n'existait pas. Étienne Bézout améliore ces travaux et montre en 1764 qu'un système de n équations à n inconnues possède des solutions non nulles si, et seulement si, son déterminant ne s'annule pas. Alexandre Vandermonde et Pierre-Simon Laplace donnent en 1772 les méthodes de développement des déterminants. Le mot déterminant lui-même n'apparaît qu'en 1801, en latin, sous la plume de Carl Friedrich Gauss. Louis-Augustin Cauchy note dès 1815 les déterminants sous forme de tableau, mais la notation actuelle, entre deux barres verticales, est une idée d'Arthur Cayley en 1841.

 

Une interprétation géométrique féconde

Sans unité de mesure, on ne peut définir la longueur d'un segment. Cependant, on peut calculer le rapport ... Lire la suite