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La lente émergence des espaces euclidiens


Bertrand Hauchecorne

La définition axiomatique du produit scalaire a donné un cadre rigoureux et fécond pour l'étude des propriétés métriques, à savoir celles qui concernent les notions de distance, d'angle et d'orthogonalité. Il faudra attendre les années 1920 pour dégager cette notion.


Dans la nomenclature, l'adjectif affine désigne tout ce qui touche aux notions de droites et de plans mais exclut ce qui concerne les distances, les angles et donc l'orthogonalité. Ces dernières notions sont qualifiées d'euclidiennes, du nom du célèbre mathématicien grec. Les premières sont parfaitement modélisées dans le cadre des espaces vectoriels. Pour les secondes, il faut attacher, à un couple de vecteurs, un nombre appelé « produit scalaire ». Comment le fait-on ?

 

Produit scalaire et norme

La notion de produit scalaire est mise en évidence par William Hamilton dans le cadre des quaternions, nombres en dimension 4 qu'il a introduits en 1843. Peu après, des mathématiciens de l'école de physique mathématique britannique comme James Clerk Maxwell, Oliver Heaviside ou Josiah Willard Gibbs ont préféré le définir à l'aide de coordonnées. Plaçons-nous dans l'espace de dimension 3 des triplets de réels. Notons u = (xyz) et v = (x'y'z') deux d'entre eux. Le produit scalaire est défini par (v) = xx' + yy' + zz'. Un calcul élémentaire montre que (u | v) = (v | u), que (u1+u2|v) = (u1| v) + (u2| v) et que, pour tout réel λ, (λu | v) = λ(u | v). La première propriété s'appelle la symétrie et les deux dernières la linéarité par rapport à la première variable (celle par rapport à la deuxième variable se déduit ... Lire la suite