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Produit vectoriel et produit mixte


Bertrand Hauchecorne

Définis sur l'espace euclidien de dimension 3, ces deux produits sont des héritiers des quaternions d'Hamilton. Ils sont devenus des outils utiles en géométrie et en mécanique.


L'analyse vectorielle

Le rêve fou du mathématicien britannique William Hamilton était de découvrir un ensemble de nombres capable de transformer les différentes isométries de l'espace en simple additions ou multiplications. Sa découverte des quaternions en 1843 le conforta dans cette ambition. Un quaternion est un couple composé d'un scalaire et d'un vecteur. Lorsque l'on multiplie (0, u) par (0, v), on obtient deux composantes, le produit scalaire (au signe près) et le produit vectoriel, inconnus à l'époque. Le physicien Josiah Gibbs comprit aussitôt l'intérêt de ces deux notions. Au grand dam de Hamilton, il préféra les définir directement sans passer par les quaternions. Il s'aperçut par la suite qu'elles se trouvaient déjà dans l'œuvre de Grassmann, publiée en 1844. D'autres savants, comme Olivier Heaviside, lui emboitèrent le pas et poursuivirent ces travaux en introduisant des concepts liés à l'étude des fonctions définies sur l'espace vectoriel et à valeurs scalaires ou vectorielles. C'est ainsi que furent définis le gradient, la divergence et le rotationnel, si utiles, en particulier en physique : c'est ce que l'on appelle l'analyse vectorielle. 

 

Le produit mixte 

Les bases orthonormées jouent un rôle primordial dans l'espace euclidien de dimension 3. Le déterminant ... Lire la suite gratuitement