Certaines courbes ne se cantonnent pas dans un plan. Le premier à avoir osé entreprendre l’étude de ces audacieux objets géométrique est un jeune homme de 19 ans à peine, Alexis Claude Clairaut (1713 –1765), dans un mémoire de cent trente-sept pages intitulé Recherches sur les courbes à double courbure, paru en 1731. Le jeune homme maîtrisait parfaitement les sections coniques et l’analyse des infiniment petits dès l’âge de 13 ans, présentant un mémoire sur les courbes algébriques du quatrième degré à l’Académie royale des sciences ! Comme il le confie dans sa préface, la méthode qu’il développe fut inspirée par Descartes : « Ce qu’il [Descartes] en dit nous apprend simplement que pour les examiner, il faut abaisser de tous leurs points des perpendiculaires sur deux plans qui soient perpendiculaires l’un à l’autre et rapporter tous les points de ces courbes aux points de celles que l’on forme par ce moyen sur ces deux plans. » Étudiant deux courbes planes, Clairaut en tire deux « courbures ». La terminologie actuelle distingue plutôt la courbure et la torsion d’une courbe dite gauche, c’est-à-dire non contenue dans un plan.
De Clairaut à Darboux ---------------------
L’étude des courbes gauches sera poursuivie par Gaspard Monge (1746 –1818) dans son Mémoire sur les développées, les rayons de courbure, et les différens genres d’inflexions des courbes à double courbure présenté à l’Académie en 1771 et publié quatorze ans plus tard. D’autres communications importantes suivront, dans lesquelles Monge introduit les notions de rayon de courbure, de polaire, de normale principale, de surface réglée développable engendrée par les tangentes à une courbe gauche, et d’arête de rebroussement.
Monge écrit dans un style élégant, se plaçant tour à tour dans un cadre géométrique, analytique ou différentiel. Il a l’intuition de la notion de torsion, vue comme « écart par rapport à la planéité », tout comme la courbure est une mesure de l’« écart par rapport à la droite ».
En 1826, deux ans avant Gauss, Cauchy rend ces notions analytiques, utilisant la terminologie introduite par le polytechnicien Louis-Léger Vallée (1784 –1864) dans son Traité de géométrie descriptive. Enfin, les mathématiciens français Jean-Frédéric Frénet (1816 –1900) et Joseph-Alfred Serret (1819 –1885), puis Gaston Darboux (1842 –1917), fixent définitivement un cadre d’étude efficace pour les courbes gauches.