Les nombres de Fibonacci F1, F2, F3… sont bien connus.
Ils vérifient la relation de récurrence suivante :
Fn = Fn‒1 + Fn‒2 pour n ≥ 3, avec F1 = 1 et F2 = 1.
Les premières valeurs (inférieures à 200) sont : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 et 144. On trouve aussi quelquefois la valeur F0 = 0 ; cela ne change pas la relation de récurrence.
Dans son ouvrage le plus connu, Liber Abaci, Leonardo Fibonacci décrit la croissance d’une population de lapins de la manière suivante :
« Partant d’un couple de lapins, combien en obtiendra-t-on après un certain nombre de mois, sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’au troisième mois ? »
Si on note Fn le nombre de couples au début du nième mois (et en supposant que les lapins ne meurent jamais !), on retrouve la relation précédente. En effet, les deux premiers mois, il n’y a qu’un couple, d’où F1 = 1 et F2 = 1. Au mois n, les Fn couples de lapins sont formés des couples du mois précédent, au nombre de Fn‒1, et des couples nouvellement engendrés. Or, au mois n, seuls les couples existant deux mois auparavant peuvent donner naissance à un nouveau couple : il y en a donc Fn‒2. D’où la relation.