Perrin pour les nombres premiers… enfin presque !


Daniel Lignon

Les nombres de Perrin portent le nom de Raoul Perrin, ingénieur français (1841‒1910), président de la Société mathématique de France en 1908.

Les nombres de Perrin, notés Pn, sont définis par une relation de récurrence ressemblant à celle des nombres de Fibonacci :

Pn = Pn‒2 + Pn‒3 pour n ≥ 3, avec P0 = 3, P1 = 0 et P2 = 2.

Les premières valeurs (inférieures à 200) sont : 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119 et 158.

Ces nombres interviennent en arithmétique en raison du théorème suivant, qui fournit un critère de primalité :

si n est un nombre premier,
alors n divise le nombre de Perrin Pn.

Mais la réciproque est fausse : il existe des nombres composés n divisant Pn. On appelle ces trouble-fête des nombres pseudo-premiers de Perrin. Le plus petit est
271 441 = 5212. D’après un résultat obtenu en 2006, il en existe une infinité.