En modélisation mathématique, les équations issues des phénomènes réels n’admettent généralement pas de solution explicite que l’on peut exprimer par les fonctions usuelles. Il est alors nécessaire d’utiliser des procédés d’approximation et de résolution numérique.
C’est le cas, par exemple, pour certaines équations différentielles. Les méthodes consistent généralement à calculer la valeur de la solution uniquement en des points donnés.
La théorie de l’approximation est un domaine des mathématiques appliquées dans lequel des fonctions « complexes » peuvent être approchées par des fonctions usuelles et « simples » qui ont un comportement analogue avec une certaine fidélité. Par « simple », on entend qu’on peut faire des calculs via des algorithmes simples, rapides et stables. On s’intéresse alors à des méthodes pour estimer les valeurs des fonctions avec une marge d’erreur acceptable.
Des polynômes pour l’approximation
Le théorème d’approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue définie sur un intervalle fermé peut être uniformément approchée, d’aussi près que l’on souhaite, par un polynôme. Il met ainsi en évidence la puissance des approximations polynomiales. C’est pour cela, et en raison de leur simplicité (ils ne nécessitent que des additions et des multiplications), que les polynômes sont souvent le premier choix pour l’approximation des fonctions.
Suivant les données disponibles, les contraintes ou l’objectif ...
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