Laissez dériver un bouchon à la surface d’un cours d’eau. Lorsque la trajectoire qu’il suit est trop difficile à calculer, on doit se contenter de méthodes d’approximation. Parfois cependant, la façon dont l’eau s’écoule rend problématique la fiabilité de telles méthodes.

Une situation extrêmement importante pour définir des courbes est celle donnée par un champ de vecteurs. Dans le plan, il s’agit d’attacher à chaque point une flèche, que l’on interprète comme une vitesse. Ce dernier mot est ici pris dans son sens physique : une vitesse possède une direction, un sens, et une intensité (cette dernière étant proportionnelle à la longueur de la flèche). On peut alors se figurer un champ de vecteur comme correspondant, en chaque point, à la vitesse de l’eau d’une rivière qui s’écoule sans variation dans le temps.

 

Une approximation de la trajectoire

 

Champ de vecteurs modélisant l’écoulement d’une rivière. 

 

Un bouchon déposé à la surface de cette rivière va alors suivre la trajectoire que lui impose le champ de vecteurs. Une question naturelle consiste à déterminer, le champ étant fixé ainsi que la position initiale B0 du bouchon, ce que sera cette trajectoire.

 

 

Trajectoire réelle du bouchon. 

 

Bien souvent, à la fois pour des raisons physiques et mathématiques, le champ de vecteurs est supposé continu, c’est-à-dire que les flèches de deux points voisins sont toujours elles-mêmes de direction et de taille voisines. Malheureusement, même avec ... Lire la suite