Définir ce qu’est une suite convergente a pris beaucoup de temps aux mathématiciens pour éviter les nombreux chausse-trappes logiques. Les travaux de Cauchy sont parmi les plus importants qui ont finalement permis d'y voir clair.

Comment savoir si une suite de nombres converge, c’est-à-dire s’approche indéfiniment d’une limite fixée ? Si l est la limite en question et un la suite de ces nombres, on peut considérer la différence un – l, et tenter de démontrer que celle-ci s’approche de 0 à mesure que n devient grand. 

Bien sûr, il reste alors à expliquer ce qu’on entend par « s’approcher de 0 », mais dans bien des cas il est possible de le faire de façon raisonnablement simple et convaincante.

Par exemple, on peut établir ainsi que la suite de terme général (n + 1)/n tend vers 1 quand n tend vers l’infini : on a (n + 1) / n – 1 = 1/n, et cette dernière expression tend vers 0 quand n devient de plus en plus grand.

 

Portrait de Cauchy.

 

Sans connaître la limite

L’un des problèmes de cette première approche, est qu’elle impose que l’on ait une idée a priori de la valeur de l. Or ce n’est pas toujours le cas. Et, sans cette valeur, il est impossible de calculer | un – l| pour le majorer par un terme qui tend vers 0 !

Une idée pourrait alors être la suivante : sans connaître la ... Lire la suite