À 25 ans à peine, Cauchy perfectionne un mémoire sur les fonctions symétriques finalement publié en deux articles. Il y introduit de nouveaux concepts, notations et méthodes et crée le calcul des substitutions qui jouera un rôle central dans le développement de la théorie des groupes.

Un ensemble (de préférence fini) d’objets écrits dans un certain ordre étant donné, modifions l’ordre de ses éléments sans en ajouter ni en retirer : le résultat ainsi obtenu s’appelle une permutation. 

Les permutations ont commencé à attirer l’attention des mathématiciens notamment dans les années 1770, avec les travaux d’Edward Waring (1736-1798) et d’Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796), car elles permettent d’étudier les racines d’une équation algébrique. Mais c’est Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) qui, posant les bases de ce qui deviendra la théorie de Galois, a mis en place une première théorie des permutations. 

Au début du XIXe siècle, celle-ci progresse avec Paolo Ruffini (1765-1822)… et Cauchy.

 

Mémoire de valeurs

Sans être particulièrement intéressé par l’étude des équations algébriques, Cauchy étudie néanmoins les permutations dans le cadre d’un problème de théorie des nombres (le théorème de Fermat sur les nombres polygonaux). Reprenant une lecture faite sur le sujet à l’Académie en 1812, il publie en 1815 deux mémoires dans le Journal de l’École polytechnique.

Dans le premier, intitulé Sur le nombre des valeurs qu’une fonction peut acquérir, lorsqu’on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu’elle contient, Cauchy commence par redémontrer un résultat de Lagrange. Son apport est jugé suffisamment important pour que Camille Jordan, énonçant ... Lire la suite