La relation « inférieur ou égal », notée ≤ , est bien une relation d’ordre sur ces ensembles : elle vérifie les trois propriétés de base, à savoir la réflexivité (pour tout nombre x, on a x ≤ x), l’antisymétrie (pour tous les nombres x et y, si x ≤ y et y ≤ x, alors on a x = y) et la transitivité (pour tous les nombres x, y et z, si x ≤ y et y ≤ z, alors on a x ≤ z).
De plus, tous les nombres dans ces ensembles sont comparables ; autrement dit, ≤ est un ordre total.
La relation « supérieur ou égal », notée ≥ , vérifie bien sûr les mêmes propriétés.
Des règles à respecter
Tout ce qui suit est valable dans l’ensemble ℝ des nombres réels et, a fortiori, dans tout sous-ensemble de ℝ.
Pour l’addition, la manipulation des inégalités est simple : en ajoutant un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas son sens : si x ≤ y, alors pour tout a, on a aussi x+a ≤ y+a ou x ‒ a ≤ y ‒ a. On en déduit qu’en ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens, on forme une troisième inégalité, toujours de même sens : si x ≤ y et x’ ≤ y’, alors x + x’ ≤ y + y’. Cela exprime que la relation ≤ est compatible avec l’addition.
Par contre, cela se complique pour la multiplication : il faut faire attention au signe du nombre a par lequel on multiplie. S’il est positif ou nul, cela ne change pas le sens de l’inégalité : si x ≤ y et si a ≥ 0, alors a x ≤ a y. Par contre, s’il est négatif ou nul, cela change le sens : si x ≤ y et si a ≤ 0, alors a x ≥ ay. On montre alors facilement, en détaillant les deux cas, que tout carré est positif ou nul : pour tout x, x2 ≥ 0.
Le passage à l’inverse est, lui aussi, délicat. Si les deux nombres sont strictement positifs, passer à l’inverse modifie le sens de l’inégalité : si x > 0 et y > 0, x ≤ y entraîne
Plus délicat : dans les nombres complexes…
Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, a-t-on une relation d’ordre ? La réponse est oui ! Il suffit, par exemple, de considérer l’ordre lexicographique, comme celui défini sur les points du plan (voir « En Bref : Un peu d'ordre...» ). Cet ordre, noté ici ⟨⟨, est défini de la manière suivante :
si l’on a z = x+iy et z’ = x’+iy’, alors on a z ⟨⟨ z’ dans le cas où x < x’ ou (x = x’ et y ≤ y’).
⟨⟨ est une relation d’ordre dans l’ensemble des nombres complexes. C’est même une relation d’ordre total ! De plus, sa restriction à l’ensemble des nombres réels est la relation d’ordre habituelle de ℝ, à savoir ≤ .
⟨⟨ est compatible avec l’addition des nombres complexes. Mais elle n’est pas compatible avec la multiplication des nombres complexes : par exemple, on a 1+i ⟨⟨ 2+3i et, en multipliant par i, qui vérifie bien 0 ⟨⟨ i, on devrait obtenir i(1+i) ⟨⟨ i(2+3i), ce qui est faux car i(1+i) = ‒1+i et i(2+3i) = ‒3+2i. Or, ‒3+2i ⟨⟨ ‒1+i, et non l’inverse.
En fait, il n’existe pas dans ℂ de relation d’ordre total dont la restriction à ℝ soit la relation habituelle et qui soit compatible avec la multiplication : ℂ n’est pas un corps ordonné. Pour s’en convaincre, il suffit de considérer le nombre i : qu’il vérifie 0 ⟨⟨ i ou i ⟨⟨ 0, son carré devrait être positif ou nul. Or, i 2 = ‒1, qui n’est pas dans ce cas.
De fait, pas d’inéquations dans ℂ !