La suite audioactive

Une devinette décryptée par les maths

Daniel Lignon

dossier : L'autoréférence (1)

Tangente 191 : Diviser pour régner

Les suites autodescriptives sont assez connues des amateurs de mathématiques, mais on en ignore souvent l'histoire. On méconnaît sans doute plus encore les travaux de celui qui a contribué à leur donner leurs lettres de noblesse, John Conway, qui consacre sa vie à s'amuser avec les maths.

Au départ, ce n’est qu’une devinette posée en marge des Olympiades internationales de mathématiques de 1977, qui se tiennent alors à Belgrade en Yougoslavie. Mais son origine est, peut-être, plus ancienne. Voilà le problème tel qu’il a été posé :

11,

21,

1211,

111221,

références

- The weird and wonderful chemistry of audioactive decay. John Conway, Eureka 46, 1986.
- Le site Internet « Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes », rubriques du 19012014 et du 29062015.

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John Conway, la passion du jeu mathématique

John Conway, la passion du jeu mathématique

Le touche-à-tout John Conway s’est brillamment illustré dans la théorie des groupes finis, dans les réseaux, dans les polyèdres et les polytopes, dans la théorie des nœuds, dans les jeux et récréations mathématiques, dans le codage, dans la théorie des nombres… Grand joueur de backgammon, il s’est très tôt intéressé aux jeux de stratégie. S’inspirant d’une idée de John von Neumann sur une machine théorique se reproduisant elle-même, il invente le fameux « jeu de la vie », qui le rendra célèbre. En 1986, il part pour les États-Unis, où il occupe la chaire John-von-Neumann à l’université de Princeton ; il y est maintenant professeur émérite.

Problème bête, nombre compliqué

Problème bête, nombre compliqué

Si l’on appelle L_n la longueur du terme de rang n d’une suite audioactive, le rapport L_n / L_n_–1 tend vers une limite finie λ quand n tend vers l’infini. Cette valeur est la même quelle que soit la graine (hormis 22, bien sûr !) et une valeur approchée à 10^–4 près en est 1,3036. En fait, λ, que l’on appelle la constante de Conway, est la seule racine réelle positive d’un polynôme de degré 71. Représentons, dans le plan complexe, les soixante et onze racines de ce polynôme.

En plus de λ (en rouge), ce polynôme possède deux racines réelles négatives (en bleu, sur l’axe des abscisses) ; toutes les autres racines sont complexes non réelles. Comme le polynôme est à coefficients entiers, λ est un nombre algébrique. Mais il ne peut pas s’exprimer à l’aide de sommes, produits, différences, divisions et extractions de racines énièmes d’entiers. En 1997, John Conway écrivait alors que λ détient sans doute le record du nombre algébrique le plus compliqué provenant d’un des problèmes les plus bêtes !

Les nombres autoaudioactifs

Les nombres autoaudioactifs

Un nombre autoaudioactif, appelé aussi autodescriptif, est un entier N défini de la manière suivante : dans l’ordre naturel des chiffres de 0 à 9, on trouve dans l’écriture de N le nombre d’occurrences du chiffre d, puis le chiffre d lui-même (pour d = 0, 1, 2… 9). Ainsi, dans le nombre N₁ = 10 213 223, il y a un chiffre « 0 », deux chiffres « 1 », trois chiffres « 2 » et deux chiffres « 3 ». On obtient bien N₁ en concaténant 10, 21, 32 et 23.

Dans N₂ = 101 112 213 141 516 171 819, on a un chiffre « 0 », onze chiffres « 1 », deux chiffres « 2 », un chiffre « 3 », et de même pour les chiffres de 4 à 9. N₂ résulte précisément de la concaténation des éléments de cette description (10, 111, 22, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

Il n’y a qu’un nombre fini de nombres autoaudioactifs, 109 au total. Les premiers sont 22, 10 213 223, 10 213 233, 10 313 314, 10 313 315, 10 313 316, 10 313 317, 10 313 318, 10 313 319, 21 322 314 et 21 322 315. Le plus grand est 101 112 213 141 516 171 819.