La suite audioactive


Une devinette décryptée par les maths

Daniel Lignon

Les suites autodescriptives sont assez connues des amateurs de mathématiques, mais on en ignore souvent l'histoire. On méconnaît sans doute plus encore les travaux de celui qui a contribué à leur donner leurs lettres de noblesse, John Conway, qui consacre sa vie à s'amuser avec les maths.

Au départ, ce n’est qu’une devinette posée en marge des Olympiades internationales de mathématiques de 1977, qui se tiennent alors à Belgrade en Yougoslavie. Mais son origine est, peut-être, plus ancienne. Voilà le problème tel qu’il a été posé :

 

1,

11,

21,

1211,

111221,

312211.

Quelle est la ligne suivante ?

 

Que voit-on sur la première ligne ? On voit un « 1 » : en concaténant ces deux chiffres que l’on lit, cela constitue la deuxième ligne. Sur cette ligne, que trouve-t-on ? On voit deux « 1 », soit les deux chiffres qui figurent sur la troisième ligne. Sur celle-ci, on voit un « 2 » et un « 1 », soit les chiffres de la quatrième ligne. Et ainsi de suite, chaque ligne décrivant la liste des nombres qui se trouvent, dans cet ordre, sur la ligne précédente. On peut ainsi donner la septième ligne, celle qui est demandée : 13112221. La devinette est résolue.

 

Prenez-en de la graine

On pourrait croire que c’est fini. Mais pas pour des esprits curieux, surtout quand on s’appelle John Horton Conway ! Ce célèbre mathématicien britannique, né en 1937, était à l’époque professeur à l’université de Cambridge.

Le processus précédent peut se poursuivre, pour construire une suite dont les termes sont les lignes successives : 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211… Le premier terme, ici 1, s’appelle ... Lire la suite


références

• The weird and wonderful chemistry of audio active decay. John Conway, Eureka 46, 1986.
• Le site Internet « Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes », rubriques du 19-01-2014 et du 29-06-2015.