accroissement moyen

Un réservoir contient 80 litres d'eau à 2 heures, puis 140 litres à 5 heures. En trois heures, son contenu a augmenté de 60 litres. L'accroissement moyen indique quelle augmentation régulière par heure aurait produit ces 60 litres au total : ici, 20 litres par heure.

Cette valeur résume donc l'évolution entre deux instants. Elle ne prétend pas que la quantité a augmenté de 20 litres à chaque heure ; elle donne le rythme constant qui aurait conduit au même bilan.

Pour une grandeur V dépendant du temps t, on choisit deux instants t₁ et t₂ tels que t₁ < t₂. Les valeurs de la grandeur à ces instants sont notées V(t₁) et V(t₂). L'accroissement moyen sur l'intervalle [t₁, t₂] est le quotient de la variation de V par la durée écoulée :

Le numérateur mesure l'effet global sur la grandeur et le dénominateur mesure le nombre d'unités de temps correspondant. Le résultat porte l'unité de V divisée par l'unité de temps, par exemple des litres par heure. Il peut être positif, nul ou négatif selon que V augmente, reste inchangée ou diminue entre les deux instants. La condition indispensable ici est t₁ < t₂, afin que t₂ − t₁ soit une durée positive ; le quotient ne décrit pas les variations qui se produisent à l'intérieur de l'intervalle.

Un réservoir contient 80 L à t₁ = 2 h et 140 L à t₂ = 5 h. On cherche son accroissement moyen pendant l'intervalle [2 h, 5 h]. Les données sont donc V(t₁) = 80 L, V(t₂) = 140 L, t₁ = 2 h et t₂ = 5 h.

La variation du contenu vaut 140 L − 80 L = 60 L.
La durée écoulée vaut 5 h − 2 h = 3 h.
Le quotient vaut 60 L / 3 h = 20 L/h.
L'accroissement moyen du contenu est donc égal à 20 L/h.

La figure représente les deux valeurs et la droite qui les relie. Pour contrôler le calcul, 20 L/h × 3 h = 60 L, ce qui retrouve exactement l'augmentation observée.

Dans un suivi de température, l'accroissement moyen entre deux relevés donne la variation moyenne par heure. Le signe indique si la température finale est supérieure ou inférieure à la température initiale ; pour connaître les fluctuations entre les relevés, il faut conserver les mesures intermédiaires.

Pour un stock, on compare la quantité au début et à la fin d'une période, puis on divise la différence par la durée. Lorsque les entrées et sorties doivent être distinguées, un bilan détaillé remplace ce résumé global.

Pour une distance parcourue, le même calcul fournit une vitesse moyenne en divisant la distance totale par le temps total. Cette alternative est adaptée si l'on cherche un rythme global plutôt que la vitesse à un instant donné.

L'accroissement moyen entre deux instants ne doit pas être confondu avec le taux d'accroissement instantané. Le premier utilise uniquement les valeurs aux extrémités de l'intervalle ; le second décrit la variation au voisinage d'un instant. Dans le réservoir, 20 L/h résume [2 h, 5 h], mais ne prouve pas que le débit vaut 20 L/h à 3 h.

Il ne s'agit pas non plus d'une variation relative. Une variation relative compare l'augmentation à la valeur initiale et s'exprime souvent en pourcentage ; l'accroissement moyen conserve la grandeur de départ par unité de temps.

Si t₂ = t₁, le dénominateur t₂ − t₁ est nul et l'accroissement moyen n'est pas défini. Il faut choisir deux instants distincts ; pour étudier le comportement au voisinage d'un seul instant, on utilise une notion instantanée adaptée.

Un résultat nul signifie seulement que V(t₂) = V(t₁) : le bilan sur l'intervalle est nul. La grandeur peut pourtant avoir augmenté puis diminué entre les deux instants. Dans l'exemple, 20 L/h est un rythme global, pas une description de chaque heure.

Les unités doivent rester cohérentes. Une différence de temps exprimée en minutes ne peut pas être combinée sans conversion avec une valeur annoncée en heures ; le résultat doit ensuite être étiqueté dans l'unité correspondante.

L'accroissement moyen fournit une lecture globale entre deux points d'une évolution. Lorsque l'on réduit progressivement l'intervalle autour d'un instant, l'étude de la limite de ces quotients mène à la dérivée, qui décrit le taux de variation instantané lorsque cette limite existe.