billard circulaire

Imaginez une bille ponctuelle lancée sans frottement dans un disque. Elle avance en ligne droite, touche le bord, puis repart comme un rayon réfléchi. La courbure du bord ne dérègle pas le mouvement : l'angle formé avec la tangente reste le même à chaque choc.

Les impacts font donc toujours le même saut angulaire autour du cercle. Selon la valeur de ce saut, la bille revient exactement à son départ ou visite le bord sans jamais répéter sa suite d'impacts.

Le billard circulaire est le modèle idéal d'un point mobile dans un disque : entre deux impacts, le mouvement suit une corde du cercle ; au bord, la réflexion impose l'égalité des angles avec la tangente. Notons R le rayon du disque et α l'angle compris entre une corde parcourue et la tangente, avec 0 < α ≤ π/2. Cet angle reste constant. Les cordes successives enveloppent un cercle concentrique, appelé caustique, de rayon ρ.

La géométrie du cercle donne simultanément $\rho =R\cos \alpha \rho =R\backslash cos\; \alpha$ et un saut angulaire de module $\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\mid }=2\alpha |\backslash Delta|=2\alpha$ entre deux impacts, modulo 2π ; selon le sens de parcours, le déplacement signé vaut +2α ou −2α. Avec la convention qui mesure l'incidence depuis la normale, l'angle vaut π/2 − α ; il faut donc toujours annoncer la convention choisie.

Si α/π est rationnel, les impacts reviennent après un nombre fini de pas et la trajectoire est périodique. Plus précisément, si $\frac{\alpha }{\pi }=\frac{p}{q}\backslash frac\{\alpha \}\{\pi \}=\backslash frac\{p\}\{q\}$ avec p et q premiers entre eux, le retour a lieu après q cordes. Si α/π est irrationnel, les points d'impact sont denses et équirépartis sur le bord : tout arc finit par recevoir des impacts, dans une proportion liée à sa longueur.

Prenons un disque de rayon R = 1 et une trajectoire qui forme avec la tangente l'angle α = π/5, soit 36°. Le point de départ est un impact situé en haut du disque.

Données : rayon R = 1 ; angle α = π/5 ; premier impact d'angle polaire −90°. La figure suit les cinq cordes et montre le cercle concentrique auquel elles sont tangentes.

1. Le saut entre deux impacts vaut $\mathrm{\Delta }=2\alpha =\frac{2\pi }{5}\Delta =2\alpha =\backslash frac\{2\pi \}\{5\}$, soit 72°.
2. Les impacts successifs ont donc pour angles polaires −90°, −18°, 54°, 126° et 198°.
3. Après cinq cordes, l'angle cumulé vaut 5 × 72° = 360° : la trajectoire retrouve son point de départ.
4. Le rayon de la caustique vaut $\rho =\cos {36}^{\circ }\approx \mathrm{0,809}\rho =\backslash cos\; 36^\backslash circ\backslash approx0\{,\}809$.

Le contrôle est refaisable sans dessin : α/π = 1/5 est rationnel et son dénominateur réduit est 5. Les cinq impacts forment les sommets d'un pentagone régulier, tandis que chaque côté reste tangent au même cercle de rayon environ 0,809.

Pour prévoir la fermeture d'une trajectoire, on mesure α avec la tangente puis on examine α/π. Une fraction réduite p/q annonce un retour après q cordes ; une valeur irrationnelle exclut ce retour exact.

Pour construire la trajectoire, il suffit de choisir un sens de parcours, puis de reporter sur le bord un saut constant de module 2α dans ce sens et de relier deux impacts consécutifs ; le saut signé vaut ainsi +2α ou −2α selon l'orientation choisie. Cette construction par angles est préférable à des rebonds dessinés à l'œil, car elle conserve exactement la loi de réflexion.

Pour contrôler un calcul ou une simulation, on vérifie que toutes les cordes sont tangentes au même cercle concentrique. Si leurs distances au centre varient, l'angle n'a pas été conservé et la trajectoire obtenue n'est pas celle du billard circulaire idéal.

Angle avec la tangente et angle avec la normale. Les deux conventions décrivent le même choc, mais leurs valeurs sont complémentaires. Dans l'exemple, α = 36° avec la tangente correspond à 54° avec la normale ; employer 54° dans Δ = 2α changerait à tort la trajectoire.

Trajectoire périodique et suite périodique. Ici, la périodicité porte sur la position et la direction après plusieurs rebonds dans le disque. Une simple répétition de nombres ne suffit pas : il faut retrouver le même état géométrique.

Billard circulaire mathématique et table matérielle. Le modèle suppose un point, une frontière parfaitement circulaire et une réflexion exacte. Une bille de taille non nulle ou un choc dissipatif relève d'un autre modèle, même si la table paraît ronde.

Incidence rasante. Pour α = 0, la corde se confond avec la tangente et il n'y a plus de trajet intérieur entre deux impacts distincts. Ce cas dégénéré est exclu par la condition 0 < α.

Passage par le centre. Pour α = π/2, la caustique a le rayon ρ = 0. La trajectoire suit un diamètre et revient après deux cordes ; le « cercle » caustique est alors réduit au centre.

Presque périodique n'est pas périodique. Une valeur irrationnelle très proche de p/q peut sembler fermer la figure pendant q rebonds. Il faut tester la rationalité de α/π, et non conclure d'après un tracé arrondi.

Portée de l'équirépartition. Dans le cas irrationnel, ce sont les points d'impact qui sont denses et équirépartis sur le bord. Cela ne signifie ni que la bille parcourt le bord, ni qu'un nombre fini d'impacts le remplit.

Le glossaire système dynamique replace l'itération des rebonds dans le vocabulaire des états et de l'évolution.

L'article Du problème des trois corps au chaos mathématique ouvre sur des dynamiques où la régularité du billard circulaire laisse place à des comportements plus complexes.