Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Bipolaire
Dans un espace localement convexe séparé en dualité avec son dual continu, le polaire d'un ensemble A est l'ensemble des fonctionnelles dont la partie réelle est majorée par 1 sur A. Le bipolaire est le polaire du polaire, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de l'espace dont toutes les fonctionnelles du polaire de A sont inférieures à 1. Le théorème du bipolaire affirme que le bipolaire d'un ensemble non vide, convexe, équilibré et fermé pour la topologie faible de cette dualité est cet ensemble lui-même. Cette notion est fondamentale dans la théorie des espaces localement convexes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le polaire et le bipolaire dans une paire en dualité.
- Calculer le polaire du carré unité et vérifier son bipolaire.
- Reconnaître les hypothèses de convexité, d'équilibre et de fermeture.
- Distinguer bipolaire, complémentaire double et cône dual.
En clair
Imaginez un ensemble de vecteurs et une collection de tests linéaires. On garde d'abord les tests qui ne donnent jamais une partie réelle supérieure à 1 sur l'ensemble : ils forment son polaire.
On applique ensuite le même filtre aux tests retenus. Les vecteurs qui passent tous ces tests composent le bipolaire. Dans le cadre du théorème, avec une dualité séparante, cette double opération comble précisément ce qui manque pour rendre l'ensemble convexe, équilibré et fermé pour la topologie faible associée. Si l'ensemble non vide possédait déjà ces propriétés, elle le restitue.
Définition
Soit E un espace localement convexe séparé, réel ou complexe, et E′ son dual continu, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E ; la paire (E, E′) est alors séparante. Pour une partie A de E, son polaire A° réunit les fonctionnelles f de E′ dont la partie réelle ne dépasse 1 en aucun point x de A : . Dans le cas réel, la partie réelle est simplement la valeur f(x).
Le bipolaire A°° est le polaire de A° dans E : . Il contient toujours A. Pour la paire duale séparante (E, E′), le théorème du bipolaire, issu du principe de séparation de Hahn-Banach, identifie A°° à l'enveloppe convexe équilibrée de A avec l'origine, fermée pour la topologie faible σ(E, E′). Une partie est équilibrée lorsque multiplier ses éléments par un scalaire de module au plus 1 ne fait pas sortir de cette partie.
Ainsi, si A est non vide, convexe, équilibré et fermé pour la topologie faible σ(E, E′), alors A°° = A. Plus généralement, le résultat dépend de la dualité choisie : la fermeture pertinente est celle déterminée par les fonctionnelles continues utilisées pour former le polaire.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan réel ℝ², on prend le carré A formé des points (x, y) tels que |x| ≤ 1 et |y| ≤ 1. Une forme linéaire est décrite par deux nombres u et v, et associe au point (x, y) la valeur ux + vy.
Données.
A = [−1, 1] × [−1, 1].
Le seuil du polaire vaut 1.
Les quatre sommets de A sont (1, 1), (1, −1), (−1, 1) et (−1, −1).
A = [−1, 1] × [−1, 1].
Le seuil du polaire vaut 1.
Les quatre sommets de A sont (1, 1), (1, −1), (−1, 1) et (−1, −1).
1. Pour des coefficients u et v fixés, la plus grande valeur de ux + vy sur le carré vaut |u| + |v|. Il suffit de choisir les signes de x et y en accord avec ceux de u et v.
2. Le polaire est donc le losange , de sommets (1, 0), (0, 1), (−1, 0) et (0, −1).
3. Le maximum de ux + vy sur ce losange vaut max(|x|, |y|). Reprendre le polaire impose donc max(|x|, |y|) ≤ 1, ce qui redonne exactement le carré A.
Le contrôle se refait sur les sommets : les quatre sommets du losange satisfont tous les tests si et seulement si |x| ≤ 1 et |y| ≤ 1. La figure matérialise cette correspondance entre le carré et son polaire.
En pratique
En optimisation convexe, le polaire transforme des points admissibles en contraintes linéaires. On examine A°° lorsque le modèle doit rester inchangé par les scalaires de module au plus 1. Si cet équilibre n'est pas souhaité, l'enveloppe convexe fermée ordinaire est l'alternative adaptée.
Dans l'étude des espaces localement convexes, les polaires de voisinages de l'origine contrôlent simultanément des familles de formes linéaires. Une estimation directe suffit pour une seule forme ; le polaire devient utile quand les mêmes bornes doivent valoir pour toute une famille.
Dans un espace localement convexe séparé, pour prouver qu'un point reste hors d'un ensemble convexe équilibré fermé, on cherche une forme linéaire continue qui le sépare de cet ensemble. Un calcul direct d'appartenance reste préférable si l'ensemble est décrit explicitement ; la séparation prend le relais quand seules des contraintes linéaires sont accessibles.
À ne pas confondre
Le polaire A° vit dans le dual et rassemble des fonctionnelles, tandis que le bipolaire A°° revient dans l'espace de départ. Dans l'exemple du carré, A° est le losange ; A°° est de nouveau le carré.
Le bipolaire n'est pas le complémentaire du complémentaire. La complémentation ne dépend que de l'appartenance et redonne toujours l'ensemble. Dans une paire duale séparante, la bipolarisation dépend de la dualité et peut agrandir un ensemble qui n'est pas déjà convexe, équilibré et fermé pour la topologie faible associée.
Il ne faut pas non plus l'identifier au cône dual. Un cône dual utilise une condition de signe et reste invariant par multiplication positive ; un polaire utilise ici le seuil 1. Un ensemble polaire n'est donc pas forcément un cône.
Limites et pièges
Si A n'est pas convexe, équilibré ou fermé, l'égalité A°° = A échoue en général. Le symptôme est qu'un point absent de A satisfait néanmoins tous les tests de A°. Il faut alors interpréter A°° comme l'enveloppe convexe équilibrée fermée de A avec l'origine, et non comme A lui-même.
Dans un espace complexe, remplacer la condition sur la partie réelle par une inégalité non précisée sur une valeur complexe n'a pas de sens d'ordre. Il faut conserver Re f(x) ≤ 1, ou annoncer explicitement une convention équivalente adaptée aux ensembles équilibrés.
La fermeture n'est pas un mot sans référentiel. Changer le dual retenu peut changer la topologie faible associée et donc la fermeture obtenue. Il faut toujours identifier la paire en dualité et la topologie avant d'appliquer le théorème.
Le cas vide demande une convention attentive : son polaire est tout le dual, et son bipolaire se réduit à l'origine dans le cadre séparant usuel. L'énoncé A°° = A pour un fermé convexe équilibré suppose donc A non vide, ou une formulation qui inclut explicitement l'origine.
Pour aller plus loin
Dans un espace localement convexe séparé, le théorème du bipolaire peut se lire comme une forme géométrique de Hahn-Banach : les formes linéaires continues séparent un point extérieur d'un ensemble convexe fermé. La double polarisation rassemble précisément les points qu'aucun de ces tests ne peut exclure.
Cette lecture mène à la dualité entre jauges et fonctions d'appui. Une partie convexe équilibrée absorbante définit une jauge, tandis que son polaire encode les bornes imposées aux fonctionnelles continues. Le passage au bipolaire relie alors description géométrique et description par inégalités linéaires.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres