AnalyseFormule · Glossaire
Borel-Carathéodory (inégalité de)
L'inégalité de Borel-Carathéodory est un résultat d'analyse complexe qui majore le module d'une fonction analytique dans un disque en termes de la borne supérieure de sa partie réelle sur le bord et de la valeur |f(0)| au centre. Plus précisément, si f est holomorphe sur un voisinage du disque fermé de rayon R, si M(r) est le maximum du module sur le cercle de rayon r < R, et A(R) le maximum de la partie réelle sur le cercle de rayon R, alors M(r) est majoré par une expression faisant intervenir A(R), r, R et |f(0)|. Ce résultat est utile pour étudier les zéros des fonctions entières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir les maxima de module et de partie réelle.
- Lire la formule sous ses hypothèses.
- Vérifier la borne sur un exemple calculé.
- Repérer les limites lorsque le cercle intérieur approche le bord.
En clair
Imaginez une fonction complexe observée dans un disque. À chaque point, elle associe un nombre qui possède une partie réelle et un module, c'est-à-dire une distance à zéro. L'inégalité de Borel-Carathéodory dit qu'une information plus simple, la plus grande partie réelle sur le bord, combinée à la valeur |f(0)| au centre, suffit à contrôler le module à l'intérieur.
On regarde donc un cercle extérieur de rayon R et un cercle intérieur de rayon r. Plus le cercle intérieur reste éloigné du bord, plus le contrôle est favorable. Cette idée transforme une borne sur une composante de la fonction en une borne sur sa taille complète.
Définition
L'inégalité de Borel-Carathéodory est une estimation pour une fonction analytique, c'est-à-dire holomorphe, dans un disque centré en l'origine. Elle relie le module de la fonction à sa partie réelle, qui sont deux façons différentes de mesurer une valeur complexe.
Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage du disque fermé de rayon R. Pour un rayon intérieur r vérifiant 0 ≤ r < R, on note M(r) le maximum de |f(z)| lorsque z parcourt le cercle de rayon r. On note A(R) le maximum de Re f(z) lorsque z parcourt le cercle de rayon R. Alors le module sur le cercle intérieur est borné par une combinaison de A(R) et de la valeur |f(0)| au centre.
La forme usuelle de l'estimation est la suivante :
Cette estimation est particulièrement utile lorsqu'une fonction entière est étudiée sur des disques de rayons croissants : elle fournit un contrôle du module à partir de la partie réelle, qui peut être plus facile à borner.
Le principe
Si f est holomorphe sur un voisinage du disque fermé de rayon R, si 0 ≤ r < R, si M(r) désigne le maximum de |f| sur le cercle de rayon r et si A(R) désigne le maximum de Re f sur le cercle de rayon R, alors :
Le membre de gauche mesure la taille maximale de f sur le cercle intérieur. Le membre de droite utilise la borne de la partie réelle sur le cercle extérieur et la valeur au centre ; il devient plus grand lorsque r se rapproche de R.
Quand l'utiliser
La fonction f doit être analytique dans un domaine contenant le disque fermé de rayon R, afin que ses valeurs soient bien définies sur les deux cercles considérés. Le rayon R doit être strictement positif et le rayon intérieur r doit vérifier 0 ≤ r < R.
Les quantités nécessaires sont le maximum de Re f sur le cercle extérieur, le module de f au centre et le rayon intérieur. La conclusion porte sur le maximum du module sur ce cercle intérieur ; elle ne donne pas automatiquement une valeur exacte de M(r).
Si f n'est pas analytique dans le disque, par exemple si elle comporte un pôle à l'intérieur, l'inégalité ne s'applique pas directement. Il faut alors utiliser une estimation adaptée aux singularités ou restreindre le domaine à une région où f est analytique.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction analytique f(z)=z+1 dans le disque de rayon R=2 et choisissons le cercle intérieur de rayon r=1. Sur le cercle extérieur, la partie réelle de z+1 atteint A(2)=3. Au centre, f(0)=1, donc |f(0)|=1.
Les données sont : R=2, r=1, A(2)=3 et |f(0)|=1.
On calcule d'abord R−r=2−1=1.
Le premier terme vaut 2rA(R)/(R−r)=2×1×3/1=6.
Le second terme vaut (R+r)|f(0)|/(R−r)=(2+1)×1/1=3.
L'inégalité donne donc M(1) ≤ 6+3=9.
Le premier terme vaut 2rA(R)/(R−r)=2×1×3/1=6.
Le second terme vaut (R+r)|f(0)|/(R−r)=(2+1)×1/1=3.
L'inégalité donne donc M(1) ≤ 6+3=9.
Le contrôle direct est plus précis ici : sur |z|=1, le module de z+1 atteint M(1)=2. On vérifie bien 2 ≤ 9. L'estimation est une borne, non une égalité attendue.
En pratique
En analyse complexe, on utilise cette inégalité lorsqu'une borne sur la partie réelle est disponible mais qu'une borne directe sur le module est difficile. Le geste consiste à mesurer la donnée sur un cercle extérieur, puis à contrôler les cercles intérieurs.
Pour une fonction entière, on peut faire varier R et comparer les bornes obtenues. Cette approche est utile dans l'étude de la croissance et des zéros ; lorsqu'une formule explicite de f est simple, un calcul direct du module peut toutefois être plus informatif.
Le résultat sert aussi de relais : une information sur Re f devient une information sur f tout entier, avec une perte contrôlée par la distance entre les deux cercles.
À ne pas confondre
Il ne faut pas confondre cette inégalité avec le principe du maximum. Le principe du maximum compare le module d'une fonction holomorphe à son maximum sur le bord du même domaine, tandis que Borel-Carathéodory utilise le maximum de la partie réelle sur un cercle extérieur ainsi que la donnée centrale |f(0)|, et produit une borne sur un cercle intérieur.
Elle ne se confond pas non plus avec une égalité donnant M(r). Le symbole ≤ exprime une estimation : même lorsque les données A(R), R, r et |f(0)| sont connues exactement, la borne peut être beaucoup plus grande que le maximum réel du module.
Limites et pièges
Lorsque r se rapproche de R par valeurs inférieures, les dénominateurs R−r deviennent petits. La borne peut alors devenir très grande : ce comportement est visible dans le facteur 1/(R−r), et il ne signifie pas que la fonction elle-même diverge.
Le cas r=R est exclu par l'hypothèse r
Une autre difficulté vient d'une borne A(R) trop faible ou négative. La partie réelle d'une fonction peut être négative sur le cercle, alors que son module est toujours positif. Il faut conserver le terme au centre et vérifier que les hypothèses et la convention de maximum utilisées sont bien celles de l'estimation.
Pour aller plus loin
Pour prolonger cette idée, l'article Aux origines de l’analyse complexe replace les fonctions holomorphes et leurs propriétés dans le développement de l’analyse complexe. Cette lecture aide à situer le rôle des estimations qui relient une composante réelle au comportement global d’une fonction.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres